44. Числовые характеристики дискретных случайных величин.

Числовыми характеристиками случ. величин явл. матем. ожидание и дисперсия, а так же и моменты случ. величин.

Математич. ожидание M(X) назыв. средняя величина возможн. знач. случ. величин, взвешенных по их вероятности. Выраж. формулой: . Свойство 1. Мат. ожид. постоянной равно этой постоянной. Свойство 2. Мат. ожид. суммы случ. величин равно сумме их мат. ожиданий: M (X₁ + X₂, + ..., + X_n) = M(X₁) + M(X₂) + ..., + M(X_n). Свойство 3. Мат. ожид. произведения независ. случ. величин X и Y равно произвед. мат. ожид. этих величин: M(XY) = M(X) • M(Y). Следствие: пост. множитель можно вынести за знак. мат. ожид. M(cX) = cM(X).

Дисперсией назыв. мат. ожидание квадрата отклонения случ. величин от мат. ожид. D(X) = M[X-M(X)]². Свойство 1. Дисперсия пост. величины = 0. Свойство 2. Пост. величину можно вынести за знак дисперсии, предварит. возведя в квадрат: D(cX) = c²D(X). Свойство 3. Дисперсия суммы независ. случ. величин X и Y равна сумме их дисперсий: D(X+Y) = D(X) + D(Y), от сюда следствие: если x₁, x₂, ..., x_n – случ. величины, каждая из которых независ. от суммы остальных, то D (X₁ + X₂, + ..., + X_n) = D(X₁) + D(X₂) + ..., + D(X_n).

Моментом k-порядка назыв. мат. ожид. k-й степени отклонения случ. величины X от некоторой пост. c. Если в кач. c берется 0(нуль), моменты наз. начальными. ʋ_k = M(X)^k. Если c = М(Х), то моменты назыв. центральными  = М[X - M(X)]^k.

Понятие о моментах. Начальные и центральные моменты.

Моментами случ. величины назыв. математ. ожидание этой величины, возвед. в целую положит. степень. Например, третьим начальным моментом случ. величины X назыв. величина EX³. Моменты делятся на начальные и центральные.

k-м нач. моментом величины Х наз. мат. ожид. величины Х^.

k-м центральным моментом величины Х наз. мат. ожид. величины (X – EX)^k. Т.е. центральный момент характеризует отклонение случ. величины Х от ожидаемого значения.

45.Непрерывные случайные величины. Интегральная и дифференциальная ф-и распределения.

Если случ. величина Х непрерывная, то её возможное значение сплошь заполняет нек. интервал ab, кот. Может быть как конечным, так и бесконечным. Для такой случ. Величины не может быть составлен ряд распределения. З-н распределения для непрерывной случ. величины задаётся с помощью ф-ции распределения интегральной или дифференциальной.

Интрегр. ф-цией распределения наз-ся ф-ция F(x)=P(X<x), точно также, как и для дискретной случ. величины.

Пусть F(x) непрерывная случ. величина, тогда f(x)=наз-ся дифференц. ф-цией распред.

Вероятностный смысл сост. в том, что это есть плотность вероятности

46.Числовые характеристики непрерывных случайных величин.

1. математическое ожидание Мξ, которое характерезует среднее значение (центр рассеивания) СВ ξ.

2. дисперсия Dξ = M(ξ – Mξ)², которая характеризует величину (меру) рассеивания значений СВ около математического ожидания.

3. среднее квадратическое отклонение , которое (в отличие от дисперсии) имеет размерность СВ ξ.

Математическое ожидание дискретной СВ ξ:

(предполагается, что ряд в правой части этого равенства абсолютно сходится) характеризует среднее значение СВ ξ.

Математическое ожидание Мξ НСВ определяется по формуле:

1. Математическое ожидание постоянной равно этой постоянной: Mc = c, если с = const.

2. Постоянный множитель выносится за знак математического ожидания: M(cξ) = cMξ.

3. Мат. ожидание суммы СВ равно сумме их математических ожиданий: M(ξ + η) = Mξ + Mη.

4. Математическое ожидание произведения независимых ВА равно произведению их мат. ожиданий: M(ξη) = Mξ∙Mη.

Дисперсия СВ ξ – математическое ожидание квадрата отклонения СВ от ее математического ожидания: ²

Дисперсия Dξ НСВ определяется по формуле:

1. Дисперсия постоянной равна нулю: Dc = 0, если c = const.

2. Дисперсия неотрицательна: Dξ ≥ 0.

3. Постоянный множитель выносится за знак дисперсии в квадрате.

4. Дисперсия суммы независимых СВ равна сумме их дисперсий: D(ξ + η) = Dξ + Dη.

5. Дисперсия разности независимых СВ равно сумме их дисперсий.

Средним квадратич. отклонением назыв. корень квадратный из дисперсии (σ)

47.З-ны распределения случайных величин: Пуассона, показательный,

равномерный.

Дискретная СВ ξ имеет распределение Пуассона с параметром а, если она принимает значения 0, 1, 2, …, n, … с вероятностями:

Мат. ожидание и дисперсия СВ ξ, распределенной по з-ну Пуассона, равны Мξ = Dξ = a.

З-н распределения Пуассона (з-н редких явлений) является хорошим приближением для биномиального распределения при больших значениях n и малых p (или 1 – p).

НСВ имеет равномерное распределение на отрезке [a; b], если ее плотность распределения постоянна на этом отрезке, а вне его равна нулю:

Функция распределения равномерно распределенной на [a, b] СВ имеет сл. вид:

а вероятность попадания этой СВ в некоторый интервал, лежащий внутри отрезка [a, b], зависит только от длины этого интервала и не зависит от его положения:

Числовые характеристики равномерного распределения:

Примерами равномерно распределенных СВ могут служить: время ожидания пассажиром транспорта, курсирующего с определенным интервалом; ошибка округления числа до ближайшего целого.

Распределение НСВ ξ называется показательным (экспоненциальным) с параметром λ > 0, если ее плотность распределения имеет следующий вид:

Функция показательного распределения:

Числовые характеристики показательного распределения:

Показательное распределение является одним из основных в теории массового обслуживания и теории надежности. Примером СВ, имеющей показательное распределение, является время ожидания редких явлений: между двумя взрывами на АТС, продолжительность безотказной работы приборов и т.д.