24. Знакоположительные ряды. Первый и второй достаточный признаки сходимости рядов

Знакоположительный ряд – все члены имеют только положительное значение

1)1 достаточный признак сходимости (непредельный признак)

Даны два знакоположительных ряда. Пусть члены первого не больше соответствующих членов второго ряда и второй (больший) ряд сходится, тогда первый ряд также сходится и его сумма не выше суммы второго ряда и наоборот, пусть члены первого не меньше соответсвующих членов второго и второй ряд расходится, тогда первый ряд также расходится

2)2 достаточный признак сходимости (предельный признак)

Если сущ. конечный и отличный от нуля предел, ряды ведут себя одинаково (сходятся/расходятся одновременно). Применяется когда в примере есть многочлены.

Сходимость исследуется сравнением: 1) с рядом геометрической прогрессии , который сходится при |q|<1

2) гармоническим рядом , который расходится

3) обобщенным гармоническим рядом , который сходится при a>1 и расходится при a<1

При P и Q – многочлены от n степени k и l, решается сравнением с обобщенным гармоническим рядом при a= l-k. (a – высшая степень)

25. Знакоположительные ряды. Признак Даламбера и интегральный признак Коши

Признак Даламбера – если для знакоположительного ряда сущ. (предел отношения последующего члена к предыдущему при неограниченном возрастании номера члена), то при p<1 ряд сходится, при p>1 расходится

(Используется при неопределенной степени () или если есть факториал)

Замечания: - ряд расходится

Если p=1 – ряд может и сходится, и расходится.

Интегральный признак Коши – пусть члены знакоположительного ряда являются значениями при х=1,2,…,n,… некоторой ф-и f(x), положительной, непрерывной, монотонно убывающей на интервале , так что тогда, если x сходится или расходится, то сходится или расходится и ряд

26.Знакочередующиеся ряды.Признак Лейбница.Абсолютно и условно сходящиеся ряды.

Частным случаем знакопеременного ряда является знакочередующийся, т.е такой ряд, в котором последовательные члены имеют противоположные знаки. Если в знакочередующемся ряде абсолютные величины членов убывают т.е u1>u2>u3…>un>… и лимит общего члена равен 0, то такой ряд сходится причем его сумма не превосходит 1-е слагаемое. Как исследовать знакочередующийся ряд на сходимость? Использовать признак Лейбница.

Признак Лейбница: Если члены знакочередующегося ряда монотонно убывают по модулю, то ряд сходится.

Или в два пункта:

1) Ряд является знакочередующимся.

2) Члены ряда убывают по модулю: . Причём, убывают монотонно.

Если выполнены оба условия, то ряд сходится. Сходимость бывает разной. А именно:

– сходящийся ряд  называют абсолютно сходящимся, если сходится ряд ; в противном случае ряд  сходится условно.

! Из вышесказанного очевидно следует, что любой сходящийся положительный ряд является абсолютно сходящимся.

27.Знакопеременные ряды. Достаточный признак сходимости. Абсолютно и условно сходящиеся ряды.

Числовой ряд , содержащий бесконечное мн-во положительных и бесконечное мн-во отрицательных членов—знакопеременный. Если в знакочередующемся ряде абсолютные величины членов убывают т.е u1>u2>u3…>un>… и лимит общего члена равен 0, то такой ряд сходится причем его сумма не превосходит 1-е слагаемое. Перейдём к рядам у которых знаки могут располагаться произвольным образом. Достаточный признак сходимости Абеля: если для ряда с произвольными членами сходится ряд, составленный из абсолютных величин ׀u1׀+׀u2׀+…+׀un׀…, то исходный ряд также будет сходиться. Замечание: тот признак—достаточный, но не необходимый. Рассматривают 2 вида сходимости. Ряд называется абсолютно сходящимся, если сходится ряд, составленный из абсолютных величин. Условно сходящийся—ряд из абсолютных величин расходится, хотя исходный ряд сходится. На знакопостоянные ряды переносятся все свойства для конечного числа слагаемых, а именно сумма ряда не меняется, если слагаемые поменять местами или сгруппировать. Для неабсолютно сходящихся рядов это свойство не работает.