- •1. Задачи, приводящие к понятию определенного интеграла. Определение определенного интеграла.
- •2. Теорема существования определенного интеграла. Свойства определенного интеграла.
- •3. Теорема о связи определенного и неопределенного интегралов. Формула Ньютона-Лейбница.
- •4. Замена переменной в ои.
- •5. Интегрирование по частям в ои.
- •6. Несобственные интегралы по бесконечному промежутку интегрирования
- •7. Несобственные интегралы от ф-й, терпящих бесконечный разрыв
- •8. Применение определенных интегралов для выч. Площадей
- •9. Применение определенного интеграла для выч. Длин дуг
- •10. Применение определенного интеграла для выч. Объемов тел
- •11. Задачи приводящие к дифферинциальным уравнениям. Основныепонятия о дифференциальных уравнениях.
- •12. Дифференциальные уравнения первого порядка. Поле направлений. Изоклины. Задача Коши. Теорема Коши.
- •13. Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными. Однородные дифференциальные уравнения первого порядка.
- •14. Линейные дифференциальные уравнения первого порядка и уравнения Бернулли. Общая схема решения дифференциальных уравнений первого порядка.
- •15. Дифференциальные уравнения второго порядка, допускающие понижение порядка.
- •16.Линейные диф.Уравнения высших порядков. Теорема сущ.И единственности. Свойства решений.
- •17.Теорема о структуре общего решения линейного однородного дифференциального уравнения.
- •18. Линейные однородные диф уравнения 2 порядка с постоянным коэффициентом
- •19. Теорема о структуре общего решения линейного неоднородного уравнения
- •20. Нахождение частного решения для линейного диф уравнения 2 порядка с постоянным коэф и спец правой частью
- •24. Знакоположительные ряды. Первый и второй достаточный признаки сходимости рядов
- •25. Знакоположительные ряды. Признак Даламбера и интегральный признак Коши
- •26.Знакочередующиеся ряды.Признак Лейбница.Абсолютно и условно сходящиеся ряды.
- •27.Знакопеременные ряды. Достаточный признак сходимости. Абсолютно и условно сходящиеся ряды.
- •28.Функциональные ряды. Область сходимости ряда, достаточный признак сходимости.
- •29.Степенные ряды. Радиус сходимости степенного ряда
- •31. Ряд Тейлора.
- •32. Разложение основных эл-ных ф-й в ряд Тейлора.
- •33. Применение рядов к приближенным выч.М и решению дифференциальных уравнений.
- •34.Задачи приводящие к понятию двойного интеграла. Двойной интеграл и его выч..
- •35. Тройной интеграл и его выч..
- •36.Криволинейные интегралы первого и второго рода и их выч.
- •37. Основные понятия и определения теории вероятностей. Классическое определение вероятности.
- •38. Сумма событий. Теорема сложения вероятностей.
- •39. Произведение событий. Теорема умножения вероятностей.
- •40. Формула полной вероятности.
- •41. Схема Бернулли. Формула Бернулли.
- •42. Локальная и интегральная теоремы Лапласа. Формула Пуассона.
- •43. Дискретные случайные величины.
- •44. Числовые характеристики дискретных случайных величин.
- •45.Непрерывные случайные величины. Интегральная и дифференциальная ф-и распределения.
- •46.Числовые характеристики непрерывных случайных величин.
- •48. Нормальный з-н распределения.
- •49.Основные понятия математической статистики. Генеральная совокупность и выборка. Вариационный и интервальный статистические ряды. Полигон. Гистограмма. Эмпирическая ф-я распределения.
- •50.Точечные оценки параметров распределения. Их свойства и выч..
- •51. Интервальные оценки параметров распределения. Доверительный интервал для математического ожидания нормального з-на распределения при известном .
- •52.Интервальные оценки параметров распределения. Доверительный интервал для математического ожидания нормального з-на распределения при неизвестном .
- •53. Элементы корреляционного анализа. Двумерная случайная величина. Функциональная и корреляционная зависимость
4. Замена переменной в ои.
Пусть дан интеграл от a до b. x=φ(t) – ввод новой переменной, тогда: 1. φ(α)=a, φ(β)=b. 2. φ(t), φ’(t) – непрерывна на отрезке [a;b]. 3. f( φ(t)) непрерывна на отрезке [α,β], то справедлива следующая формула
Замечание: эта формула удобна тем, что после замены переменной и изменив пределы интегрирования, сразу используется формула Ньютона-Лейбница. Не надо возвращаться к старой переменной x.
5. Интегрирование по частям в ои.
В ОИ применяется формула интегрирования по частям, как и в неопределенном интеграле, который с учетом формулы Ньютона-Лейбница записывается: .
6. Несобственные интегралы по бесконечному промежутку интегрирования
Рассмотрим ф-ю определенную и непрерывную на промежутке . Очевидно, определение определенного интеграла на таком промежутке бессмысленно. Предположим, что данная ф-я интегрируема на любом конечном промежутке вида [a, b]. Тогда интегралом от этой ф-и по бесконечному промежутку назовем Обозначать этот интеграл будем как . Таким образом
Если этот предел сущ., будем говорить, что интеграл сходится, в противном случае - расходится. Геометрически этот интеграл представляет собой площадь бесконечной
Аналогично можно определить интегралы по промежуткам другого вида
Или
7. Несобственные интегралы от ф-й, терпящих бесконечный разрыв
Для начала рассм.ф-цию y=f(x), x=[a;c), и терпит в точке бесконечный разрыв.
Рассм. , т.к ф-ция на этом промежутке интегрирования, то интеграл сущ. и явл. непрерывной ф-цией от верхнего предела . Если стремится к 0,то стремится к с.
Если сущ.конечный предел то он наз. несобств. интегралом от ф-ции, терпящей бесконечный разрыв на правом конце интегрирования.
Если разрыв во внутренней точке, то
8. Применение определенных интегралов для выч. Площадей
Определение. Разность F (b)– F (a) называется интегралом от ф-и f (x) на отрезке [ a ; b ] и обозначается так: = F (b)– F (a) – формула Ньютона-Лейбница.
Геометрический смысл интеграла.
Площадь криволинейной трапеции, ограниченной графиком непрерывной положительной на промежутке [ a ; b ] ф-и f (x), осью Ох и прямыми х=а и х= b:
.
Выч. площадей с помощью интеграла.
1.Площадь фигуры, ограниченной графиком непрерывной отрицательной на промежутке [ a ; b ] ф-и f (x), осью Ох и прямыми х=а и х= b :
2.Площадь фигуры, ограниченной графиками непрерывных ф-й f (x), и прямыми х=а, х= b :
3.Площадь фигуры, ограниченной графиками непрерывных ф-й f (x) и :
4.Площадь фигуры, ограниченной графиками непрерывных ф-й f (x), и осью Ох:
9. Применение определенного интеграла для выч. Длин дуг
Длиной кривой наз. предел длины вписанной ломаной, когда число разбиений ->∞, а длина каждой из сторон стремится к 0.
В прямоугольной системе координат:
Пусть у нас задана кривая линия l. Обозначим через l длину линии, заключенной в отрезке. Дадим приращение dx, и найдем приращение dl. Если у нас dx-достаточно малая, то dl приблизительно равна длине прямого отрезка.
Интегрируя, мы получим:
В параметрическом виде:
В полярной системе координат: