13. Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными. Однородные дифференциальные уравнения первого порядка.

Методы решения ДУ.

Среди всех ДУ уравнений, для которых решение находится в явном виде сущ. очень мало. В основном решение ищутся в приближенном виде, то есть в некоторой окрестности начальной точки, и не точное, а приближенное.

Методы: 1) уравнения, правая часть которых зависит от x.

y’=f(x), dy/dx=f(x), dy=f(x)dx

, y=

2) уравнения с разделяющимися переменными

если правая часть уравнения представлено в виде f(x,y) представима в виде f1(x) f2(y) называется ур-нием с разделяющимися переменными.

y’= f₁(x) f₂(y), dy/dx= f₁(x) f₂(y), dy/f₂(y)=f₁xdx,

3) Однородные уравнения.

Одн. наз. уравнения, правая часть кот. представима в виде f(x,y)=φ(y/x). Решаются заменой y/x на u, тогда y=u*x, y’=u’x+u=φ(u), u’x = φ(u)-u, du/dx*x= φ(u)-u, du/ φ(u)-u=dx/x,

14. Линейные дифференциальные уравнения первого порядка и уравнения Бернулли. Общая схема решения дифференциальных уравнений первого порядка.

Линейные ДУ 1-го порядка

y’=p(x,y)=f(x).

Решение. y=uv, y’=u’v+v’u, u’x+v’u+p(x)uv=f(x)

u’v+u(v’+p(x)xv)=f(x)

Функцию v выбираем из условия v’+p(x)v=0 (1), u’v=f(x) (2)

Ур-ние (1) – с разделяющимися переменными, решаем его, берем любое из решений (обычно при с=0). Подставляем найденную ф-ю в ур-ние (2) и решаем его, как ур-ние 1-го типа.

Линейное ур. – частный случай (при α=0) уравнения Бернулли y’+p(x)y=f(x)y^α. Ур. Бернулли решается аналогично линейному.

Общая схема:

1. уравнения, правая часть которых зависит от x y’f(x), реш. y=

2. с раздел. переменными y’= f₁(x) f₂(y), реш.

3. Лин. ДУ y’=p(x,y)=f(x), 4.Бернулли y’+p(x)y=f(x)y^α. Решение см. выше.

15. Дифференциальные уравнения второго порядка, допускающие понижение порядка.

Простейшие уравнения n-ного порядка, допуск. понижение порядка y⁽ⁿ⁾=f(x)

y^(n-1)=u’, u’=f(x), u= y^(n-1)= Поступая аналогично, получим: y^(n-2)=

Т.е. общее решение получаем, интегрируя правую часть n раз.

Ур. 2-го порядка f(x,y,y’,y’’)=0 (1)

1. Отсутствует переменная y: f(x,y’,y’’)=0 (2)

y’=p(x), y’’=p’(x)

F(x,p,p’)=0. Решаем, находим p=φ(x, c₁), y= ∫φ(x, c₁)dx+c₂

2. Отсутствует x: f(y,y’,y’’)=0 (3)

y’=p(y), y’’=p’(y)=dp/dy, f(y,p,p’p)=0,

p=φ(y,)=y’

16.Линейные диф.Уравнения высших порядков. Теорема сущ.И единственности. Свойства решений.

Определение: линейным диф ур-нием высшего порядка называется ур-ние вида: yⁿ+a₁(x)y^(n-1)+a₂(x)+y^(n-1)+…+a_n(x)y=f(x)

Если f(x)=0, то ур-ние называется однородным

Если f(x)ǂ0, то ур-ние неоднородное

Теорема Коши (существования и единственности линейного ур-ния):

Если ф-ция a₁(x), a₂(x) и т.д. a_n(x), f(x) непрерывна на отрезке ab, то для любого x₀€ [ab] любых начальных условий : y|_x=x0=y₀

y’|_x=x0=y’₀…

y^n-1|_x=x0=y₀^n-1 сущ. единственное решение удовл-щее заданном нач.условию.

Следствие: если линейное однородное (f(x)=0) диф. Ур-ние удовл. Условию т.Коши, то нулевым начальным условием для : y|_x=x0=0_,

y’|_x=x0=0, y^n-1|_x=x0=0

Для сокращ.записи левую часть обозначаем L(y), тогда L(y)=f(x) (L-набор операций)

Однородное выражение в операторном виде: L(y)=0

Cвойства решений:

1. Если y(x) L(y)=0

То с y(x), c-const также будет явл решением

2. Если y₁(x); y₂(x) явл решением уравнения L(y)=0; y=c₁y₁(x)+c₂y₂(x) также будет c₁c_2-const явл решением этого уравнения

3. Если комплексная ф-я y=u(x)+V(x)i будет являться решением уравнения L(y)=0, то решения этого уравнения будут: y₁=u(x) , y₂=V(x)

Другими словами: действительные и мнимые части будут явл тоже решением

4. Если ȳ(х) явл решением ур-ния L(y)=0, а y*решением уравнения L(y)=f(x), то y=ȳ+y* будет являться решением уравнения L(y)=f(x)

5. Если y₁(x) явл решением уравнения L(y)=f(x), а y₂(x) явл решением L(y)=f₂(x), y=y₁(x)+y₂(x) L(y)=f₁(x)+f₂(x)