- •1. Задачи, приводящие к понятию определенного интеграла. Определение определенного интеграла.
- •2. Теорема существования определенного интеграла. Свойства определенного интеграла.
- •3. Теорема о связи определенного и неопределенного интегралов. Формула Ньютона-Лейбница.
- •4. Замена переменной в ои.
- •5. Интегрирование по частям в ои.
- •6. Несобственные интегралы по бесконечному промежутку интегрирования
- •7. Несобственные интегралы от ф-й, терпящих бесконечный разрыв
- •8. Применение определенных интегралов для выч. Площадей
- •9. Применение определенного интеграла для выч. Длин дуг
- •10. Применение определенного интеграла для выч. Объемов тел
- •11. Задачи приводящие к дифферинциальным уравнениям. Основныепонятия о дифференциальных уравнениях.
- •12. Дифференциальные уравнения первого порядка. Поле направлений. Изоклины. Задача Коши. Теорема Коши.
- •13. Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными. Однородные дифференциальные уравнения первого порядка.
- •14. Линейные дифференциальные уравнения первого порядка и уравнения Бернулли. Общая схема решения дифференциальных уравнений первого порядка.
- •15. Дифференциальные уравнения второго порядка, допускающие понижение порядка.
- •16.Линейные диф.Уравнения высших порядков. Теорема сущ.И единственности. Свойства решений.
- •17.Теорема о структуре общего решения линейного однородного дифференциального уравнения.
- •18. Линейные однородные диф уравнения 2 порядка с постоянным коэффициентом
- •19. Теорема о структуре общего решения линейного неоднородного уравнения
- •20. Нахождение частного решения для линейного диф уравнения 2 порядка с постоянным коэф и спец правой частью
- •24. Знакоположительные ряды. Первый и второй достаточный признаки сходимости рядов
- •25. Знакоположительные ряды. Признак Даламбера и интегральный признак Коши
- •26.Знакочередующиеся ряды.Признак Лейбница.Абсолютно и условно сходящиеся ряды.
- •27.Знакопеременные ряды. Достаточный признак сходимости. Абсолютно и условно сходящиеся ряды.
- •28.Функциональные ряды. Область сходимости ряда, достаточный признак сходимости.
- •29.Степенные ряды. Радиус сходимости степенного ряда
- •31. Ряд Тейлора.
- •32. Разложение основных эл-ных ф-й в ряд Тейлора.
- •33. Применение рядов к приближенным выч.М и решению дифференциальных уравнений.
- •34.Задачи приводящие к понятию двойного интеграла. Двойной интеграл и его выч..
- •35. Тройной интеграл и его выч..
- •36.Криволинейные интегралы первого и второго рода и их выч.
- •37. Основные понятия и определения теории вероятностей. Классическое определение вероятности.
- •38. Сумма событий. Теорема сложения вероятностей.
- •39. Произведение событий. Теорема умножения вероятностей.
- •40. Формула полной вероятности.
- •41. Схема Бернулли. Формула Бернулли.
- •42. Локальная и интегральная теоремы Лапласа. Формула Пуассона.
- •43. Дискретные случайные величины.
- •44. Числовые характеристики дискретных случайных величин.
- •45.Непрерывные случайные величины. Интегральная и дифференциальная ф-и распределения.
- •46.Числовые характеристики непрерывных случайных величин.
- •48. Нормальный з-н распределения.
- •49.Основные понятия математической статистики. Генеральная совокупность и выборка. Вариационный и интервальный статистические ряды. Полигон. Гистограмма. Эмпирическая ф-я распределения.
- •50.Точечные оценки параметров распределения. Их свойства и выч..
- •51. Интервальные оценки параметров распределения. Доверительный интервал для математического ожидания нормального з-на распределения при известном .
- •52.Интервальные оценки параметров распределения. Доверительный интервал для математического ожидания нормального з-на распределения при неизвестном .
- •53. Элементы корреляционного анализа. Двумерная случайная величина. Функциональная и корреляционная зависимость
10. Применение определенного интеграла для выч. Объемов тел
Пусть у нас имеется некое тело. Обозначим его за Т. Это тело заключено между 2мя плоскостями x=a, x=b. Обозначаем Vза объем. Дадим приращение dx и найдем насколько прирастем dV. Т.к. приращение dx достаточно малое, то V тела приблизительно равен V цилиндра:
Объем тела вращения: При сечении плоскостью Х=х в сечении получается круг, радиус, равный r=r(x), площадь которого равна , тогда объем тела равен:
11. Задачи приводящие к дифферинциальным уравнениям. Основныепонятия о дифференциальных уравнениях.
Задача о движении парашютиста. Пусть с парашютом сброшен нек. груз Р, нам нужно установить з-н движения парашюта как ф-ю пройденного пути в зависимости от времени.
Мы знаем, что по 2-му з-ну Ньютона f=ma.
С другой стороны, мы знаем, что кроме силы тяжести на парашют действует сила сопротивления воздуха, пропорциональная скорости, и эта сила направлена в противоположную сторону от силы тяжести. dv/dt=mg-kv2
Если мы обозначим через s(t) путь, пройденный парашютом за время е, то v=s’t, a=s’’t.
mg-ks’(t)=ms’’(t)
s'=s''+k/ms'=g
Таким образом, для нахождения s в зависимости от t мы получим уравения, в кот. входят 1-ая и 2-ая производные искомой ф-и.
ДУ называется ур-ние, связывающее независимую переменную х с искомой ф-ей y и ее производной.
Порядком ДУ называется наивысший из порядков производных, существенно входящих в данное ур-ние.
Решением ДУ явл. ф-я, которая будучи подставленной в ур-ние, обращает его в тождество.
При нахождении решения ДУ приходится прибегать к операции интегрирования, поэтому решением ДУ называют интегрирование ДУ, а график решения ДУ - интегральной кривой. Если решение ДУ сущ., то их будет бесч. мн-во, а самому основному уравнению соответствует целое семейство интегральных кривых.
12. Дифференциальные уравнения первого порядка. Поле направлений. Изоклины. Задача Коши. Теорема Коши.
ДУ первого порядка . Если этого уравнения можно разрешить относительно производной, то оно имеет вид y’=f(x, y).
Мы знаем, что на плоскости данному ур-нию соответствует семейство интегральных кривых. Возьмем одну из кривых, которой соответствует решение y=Y(x). Мы знаем из геом. смысла производной, что она равна тангенсу угла наклона касательной, проведенной к точке. f(x,y)=y’=tgα, поэтому используя ур-ние к плоскости проведем мн-во отрезков с угловым коэффициентом равным правой части. Такое мн-во наз. полем направлений. Геометрически решить ДУ означает провести инт. кривую так, чтобы в каждой точке она совпала с полем напр. Для того чтобы строить поле направлений пользуются изоклинами. Изоклина – мн-во точек плоскости, где поле направлений имеет одно и то же напр. Мн-во этих точек задает кривую. Поле напр. определяет инт. кривые- концентрические окружности с центром в начале координат.
ДУ соответствует бесчисленное мн-во инт. кривых и решений. Для выделения конкретной инт. кривой можно задать точку, через которую она проходит. Решение ДУ при x = x0 должно удовл. усл y=(x0)=y0, y’|x=x0 = y0, y’’|x=x0 = y’0 (3) - начальное усл. Коши. Задача, состоящая в нахождения решения ур-ния (2) удовл. начальному условию (3) наз. задача Коши для ДУ.
Теорема Коши. Если правая часть ур-ния y’=f(x, y) и ее частная производная f’y(x,y) непр. в некоторой области G, то для любой точки m0, принадлежащей этой области, ур-ние имеет решение, удовл. условию y’|x=x0 = φ(x0) = y0
Геом. смысл состоит в том, что через каждую точку области мы можем провести единственную инт. кривую. Точки области, в которых нарушается единственность решения наз. особыми точками области.
Общее и частное решение ДУ первого порядка. Рассмотрим ДУ первого порядка, правая часть которого удовл. условиям теоремы Коши. Функция, зав. от аргумента и произ. постоянной наз. ОР области G, если она удовл. : 1) она обращает в тождество ур-ние (1) при любых значениях произв. постоянной C. 2) для любых начальных условий найдено найдется такое значение C0, что y=y(x, c0) будет явл. решением данного ур-ния, удовлетв. заданному начальному условию. Значение произвольной постоянной с0 мы можем найти φ=(x0,c0)=y0. Всякое решение y0= φ(x, c0), полученное из общего решения, называется частным. Часто частное решение получается в неявном виде φ=(x, y, c)=y0 и наз. общим интегралом, φ=(x, y, c0)=y0 - частным интегралом.