48. Нормальный з-н распределения.

Распределение непрерыв. случ. вел. ξ называется нормальным (или распределением Гаусса), с параметрами a и σ > 0: ξ ∈ N (a, σ), если плотность распределения вероятностей имеет вид:

Параметры а и σ имеют смысл математического ожидания и среднего квадратического отклонения случ. вел. ξ: Мξ = а, Dξ = σ².

График плотности нормального распределения называется кривой Гаусса:

Функция распределения случ. вел. ξ, имеющая нормальное распределение с параметрами а и σ, выражается через ф-ю Лапласа следующим образом:

а вероятность попадания случ. вел. ξ на заданный интервал ( вычисляется по формуле

В силу непрерывности случ. вел. эта формула справедлива как со строгими, так и с нестрогими знаками неравенств.

49.Основные понятия математической статистики. Генеральная совокупность и выборка. Вариационный и интервальный статистические ряды. Полигон. Гистограмма. Эмпирическая ф-я распределения.

Мат. статистикой назыв. наука, занимающаяся установлением з-номерностей массовых однородных случайных явлений (на основе наблюдений).

В стат. имеются 2 осн. задачи. Первая задача – указать способы сбора и группировки систематических сведений. Вторая – разработка методов анализа систематических данных в зависимости от цели исследования.

Пусть требуется изучить совокупность объектов относительно некоторого признака. Дана аудитория студентов; можно поступить сл. образом: провести сплошное обследование относительно этого признака, а можно поступить иначе: провести обслед. только нек. части и результаты распространить на всю совокупность.

Совокупность всех исследований объектов называется генеральной совокупностью. Люб. часть объектов, взятая из генеральной, называется выборкой. Число объектов выборки называют объемом выборки (n).

Выборка называется повторной, если отобранный объект возвращается в ген. совокупность перед выбором сл. объекта и бесповторной, если отобранный объект не возвращается. На практике чаще всего исп. бесповторный.

Следует заметить, чтоб если объем генеральной совокупности достаточно большой, то различий между повторной и бесповторной не сущ.

Самым распр. способ отбора явл. простой случ. отбор. Отбор назыв. простым случайным, если элементы выборки имеют одинаковую вероятность попасть в выборку. Осуществить такой отбор можно, пользуясь таблицами случ. чисел. Для этого поступ. сл. обр.: каждому объекту из ген. совокупности присваивают номер. Если нужно сделать выборку объема М, то берем таблицу случ. чисел и выписываем подряд n чисел, начиная с любого. Затем из выборки берем те объекты, номера которых совпадают с выписанными случайными числами.

Механический отбор – когда вся совокупность разбивается на однородные по объему группы по случайному признаку, потом из каждой группы берется только одна единица. Все единицы изучаемой статистической совокупности предварительно располагаются в определенном порядке, но в зависимости от объема выборки механически через определенный интервал отбирается необходимое количество единиц. Типический отбор. Исследуемая статистическая совокупность разбивается по существенному, типическому признаку на качественно однородные, однотипные группы, затем из каждой этой группы случайным способом отбирается определенное количество единиц, пропорциональное удельному весу группы во всей совокупности. Типический отбор дает более точные результаты, так как при нем в выборку попадают представители всех типических групп.

Отбор называется серийным, если объекты отбираются из ген. совокупности не по одному, а серией. Напр. завод произв. лампочки, которые по 100 штук сразу упаковываются в ящики. Для проверки качества берется ящик и исследуется.

Поскольку отбор производится как правило пр. случ., когда к объекту присваев. номер, то выборку можно рассматривать как случ. величину.

Выборке предъявл. одно требование – выборка должна быть представительской. Это означает, что выборка должна равномерно отображать все объекты совокупности.

Статистический ряд.

Выборку мы будем рассматривать как случ. величину Х, и пусть из генеральной совокупности извлечена выборка х₁, х₂, …, х_n. Мы эту выборку запишем в виде статистического ряда.

Пусть х₁ наблюдалось n раз.

Пусть х₂ наблюдалось n₂ раз.

Пусть х_k наблюдалось n_k раз.

Тогда стат. (вариационным) рядом назыв. ряд, составленный

(1)Х	х1	x2	…	хk
ni	n1	n2	…	nk

Отношение называется относительной частотой, поэтому часто рассматривают ряд:

Х	х1	x2	…	хk
W1	W1	W2	…	Wk

кот. называют рядом относительных частот.

В случ., когда объем выборки достаточно большой и много различных наблюдаемых значений, то рассматривают т.н. интервальный статистический ряд: среди всех значений выборки выбираем x_min и x_max; Разность между min и max значениями называется размахом выборки (W).

Весь диапазон наблюдаемых значений разбиваем на k интервалов, где k находится по формуле k=1+3,2lgn. Находят длину каждого из интервалов , а далее строят интервальный ряд:

[x; x1+i]	[xmin; x1[	[x1; x2[	…	[xk+1; xk]
ni	n1	n2	…	nk
xi*	x1*	x2*	…	xk*

x₁ = x_min + h

x₂ = x_min + 1h

x_i = x_min + ih

n_i – количество наблюдаемых значений, кот. попали в интервал [x_i-1; x_i[

(середина i-того интервала)

Следует отметить, что при выборе ширины интервала нам необязательно строго учитывать кол-во интервалов k. Мы можем либо добавить, либо уменьшить, главное, чтобы удобно было вычислять x_i*. Кроме того, значения x_k может быть больше, чем x_max. Аналогично записывается интервальный ряд относительных частот, где вместо n_i стоят .

Эмпирическая ф-я распределения.

Пусть задан статист. ряд распределения. Введем в рассмотрение число n_x, кот. означает число наблюдаемых значений X<x, тогда эмп. ф-ей распредел. назыв. ф-я: .

В отличие от интегральной ф-и распределения в т. вероятности, кот. задается как F(x)=P(X<x), эмп. ф-я строится после анализа наблюдений (набл. знач.) и представляет собой относит. частоту. Интегр. ф-я распределения еще называется теоретической ф-ей распределения. Эмп. ф-я распределения имеет вид аналогичный теоретической, а также ее график представляет собой ступенчатую фигуру.

Полигон и гистограмма. В целях наглядности строят различные графики статистического распределения. Полигоном называется фигура, представляющая собой ломаную, соединяющую точки M(x_i;n_i). Полигоном относит. частот называется ломаная, соединяющая точки с координатами M(x_i;w_i).

Полигон строится в том случае, когда задан статистический ряд (1) и по виду полигона мы можем судить о з-не распределения случ. величины.

Пример:

По виду данной ломаной мы можем предположить, что з-н распределения данной случ. вел. будет нормальный.

Аналогично строится полигон относит. частот. Следует заметить, что S фигуры, огранич. полигоном относит. частот, равна 1.

В случае, если у нас есть интервальный ряд распределения, строят гистограмму распределения.

Гистограммой частот наз. ступенчатую фигуру, состоящую из прямоугольников, основаниями которых служат частичные интервалы длиной h, а высоты представляют собой (плотность частоты). Гистогр. относит. частот называют ступенчатую фигуру, сост. из прямоуг., основаниями кот. служат частные интервалы длиной h, а высоты - .

[xi; xi+1[	[2;4[	[4;6[	[6;8[	[8;10[	[10;12]
ni	10	20	40	20	10

h=2

Пример:

Из гистогр. частот мы видим, что исслед. случ. вел. подчинена нормальному з-ну распределения. Аналогично можно построить гистограмму относительных частот.