- •Sommaire
- •1. Activités géométriques
- •1. 1 Vocabulaire des vecteurs
- •1)La relation de Chasles
- •Exercices
- •1.2Vecteurs et coordonnées
- •Exercices
- •1.3 Propriété de Thalès
- •4) On donne la réponse sans oublier de rappeler l’unité de longueur.
- •3) On applique la réciproque de la propriété de Thalès pour conclure.
- •Exercices
- •1.4 Angles inscrits dans un cercle
- •Exercices
- •1.5 Révision
- •2. Inéquations à une inconnue
- •2.1Vocabulaire des inégalités
- •Exercices
- •2.2 Resoudre une inéquation
- •Exercices
- •2.3 Resoudre un système de deux inéquations
- •Exercices
- •2.4 Révision
- •3. Fonction trinôme du second degré
- •3.1 Trinôme du second degré
- •Exercices
- •3.2 Fonction trinôme du second degré
- •Exercices
- •3.3 Inéquations du second degré
- •Exercices
- •3.4 Révision
- •4. Suites
- •4.1 Notion de suite
- •Exercices
- •4.2 Suite arithmétique
- •Exercices
- •4.3 Suite géométrique
- •Exercices
- •4.4 Révision
3.2 Fonction trinôme du second degré
Mots à retenir
la fonction trinôme du second degré (квадратичная функция)
une allure(поведение)
la parabole est orientée vers le haut (ветви параболы направлены вверх)
la parabole est orientée vers le bas (ветви параболы направлены вниз)
le sens de variation (монотонность)
est croissante(возрастает) est décroissante(убывает)
la translation de vecteur... (параллельный перенос на вектор …)
Définitions
1) On appelle fonction trinôme du second degré, ou parfois seulement trinôme, toute fonction qui peut s’écrire sous la forme
2) La courbe représentative de f a donc pour équation C’est une parabole de sommet S (α ; β), d’abscisse et d’ordonnée .
Remarque : lorsque le trinôme a deux racines distinctes x1 et x2, l’abscisse α du sommet de la parabole est la moyenne des deux racines :
Selon le signe du discriminant Δ de a, on peut préciser les différentes allures possibles pour la parabole :
-
Si Δ > 0, s’annule pour deux valeurs, donc la courbe coupe l’axe des abcsisses en deux points.
-
Si Δ = 0, la courbe et l’axe des abcsisses n’ont qu’un point commun.
-
Si Δ < 0, ne s’annule pas, donc la courbe ne coupe pas l’axe des abcsisses.
-
Si a > 0 la parabole est orientée vers le haut.
-
Si a < 0 la parabole est orientée vers le bas.
Le tableau suivant illustre les six cas possibles.
Discriminant |
Δ < 0 |
Δ = 0 |
Δ > 0 |
|
Solution de l’équation |
Pas de solution |
Une seule solution
|
Deux solutions distinctes |
|
Position de la parabole |
a > 0
|
|
||
a < 0 |
|
|
Par exemple :
1) La courbe représentative de la fonction définie par est une parabole de sommet S (2 ; 0). Comme a = 2, positif, la parabole est tournée vers le haut.
2) La courbe représentative de la fonction définie par est une parabole de sommet S (1 ; 5). Comme a = -2, négatif, la parabole est tournée vers le bas.
Méthode
Pour étudier les variations d’une fonction trinôme du second degré et tracer sa courbe représentative :
-
On calcule l’abscisse du sommet et son ordonnée, en remplaçant x par α.
-
Suivant le signe du coefficient de x2 on obtient l’allure de la parabole, représentant f et on en déduit le sens de variation de la fonction f.
Par exemple : f est la fonction trinôme définie par .
Sa courbe représentative est la parabole de sommet S (-1 ; -4).
Comme a = 2, positif, la parabole est tournée
vers le haut. Δ = 16 > 0, s’annule
pour x1 = -3 et x2 = 1 , donc la courbe coupe
l’axe des abcsisses en deux points.
Sa représentation graphique est donnée ci-contre.
On obtient le sens de variation :
est croissante pour [-1 ; +∞ [ ;
est décroissante pour]– ∞ ; -1].
Méthode
Pour tracer la courbe représentative d’une parabole on peut utiliser la forme canonique du trinôme. Donc La translation de vecteur permet de passer de la parabole d’équation à la parabole d’équation
Par exemple :
On considère les fonctions .
En utilisant la translation de la parabole (1)
d’équation on peut tracer les courbes 1
représentatives des fonctions. 3
La translation de vecteur permet
de passer de la parabole d’équation
à la parabole (2) d’équation . 2
La translation de vecteur permet
de passer de la parabole d’équation à
la parabole (3) d’équation .