Глава 2. Количественные соотношения в физике полупроводников

2.1. Распределение Ферми. Плотность квантовых состояний

В предыдущих разделах приведено качественное описание собственной и примесных проводимостей. Для количественной характеристики этих проводимостей, а также для определения зависимости проводимостей от температуры и других факторов нужно знать концентрацию подвижных носителей (электронов и дырок) в различных условиях. Эта концентрация может быть найдена только из зонной теории твердого тела. Ниже приводится упрощенное определение концентрации свободных носителей в собственных и примесных полупроводниках и смещение уровня Ферми в примесных полупроводниках, использующееся при дальнейшем изложении. Для определения концентрации носителей в зонной теории используется функция распределения Ферми - Дирака, заимствованная из статистической физики, и плотность квантовых состоянии g(W) (плотность энергетических уровней ) в определенном энергетическом диапазоне dW , заимствованная из квантовой механики. Все остальные математические положения зонной теории вытекают из этих двух посылок.

2.2. Функция распределения Ферми – Дирака

Из физики известно, что положение электрона может быть определено лишь в вероятностном смысле. Распределение Ферми - Дирака дает вероятность f_n(W) того, что любой частный уровень энергии W занят электроном /3,4/:

, (2.1)

где W_F - уровень Ферми, вероятность занятия его разна 1/2,

T - абсолютная температура по Кельвину;

k - постоянная Больцмана.

В невырожденных состояниях WW_F >> кТ и распределение (2.1) переходит в классическое распределение Больцмана – Максвелла:

. (2.1)

2.3. Плотность квантовых состояний

Из квантовой механики известно, что почетность квантовых состояний в разрешенных зонах изменяется по определенным законам.

В частности, для нижнего края зоны проводимости и верхнего края валентной зоны плотность квантовых состояний g(W) (плотности энергетических уровней) в узком диапазоне энергии dW на уровне W определяется следующим выражением /3,4/ (а единицах объема – уровни/(Джсм³) ):

, (2.3 )

где W_гр - энергия границы зоны (верхнего края валентной зоны или нижнего края зоны проводимости);

, (2.4)

m_эф - эффективная масса (электрона - в зоне проводимости, дырки - в валентной зоне);

h - постоянная Планка.

2.4. Концентрация носителей в зонах

Концентрация электронов dn в диапазоне энергий dW около уровня W в зоне проводимости может быть определена как произведение вероятности f_n(W) занятия электронами уровня W на количество уровней g(W) dW в этом диапазоне:

.

Тогда концентрация электронов n по всей зоне проводимости определится интегрированием dn от нижнего края W_c в глубь зоны (для невырожденных полупроводников в зоне проводимости справедливо (2.2)):

, (2.5)

где

. (2.6)

Интеграл (2.5) приводится к табличному подстановкой . N_c называют эффективной плотностью состояний в зоне проводимости. Практически - это максимально возможная концентрация n в невырожденном состоянии, равная приблизительно 510¹⁹ см³. C_C - коэффициент из (2.4), в котором m_эф - эффективная масса электрона в зоне проводимости.

Концентрация дырок в валентной зоне находится таким же образом, только вместо f_n(W) подставляется вероятность появления дырки в валентной зоне f_p(W), равная вероятности отсутствия электрона на этом уровне:

.

а интегрирование по W производится от верхнего края вглубь валентной зоны:

, (2.7)

где

. (2.8)

называют эффективной плотностью состояний в валентной зоне. Практически равна максимальной концентрации дырок в невырожденном состоянии: N_c.

=1,7 и 2,8 для Ge и Si, т.е. эти значения близки, поэтому – коэффициент из (2.4), где m_эф эффективная масса дырки в валентной зоне.

Концентрация свободных носителей n, p в (2.5) и (2.7) определена при заданной температуре Т⁰ через неизвестный уровень Ферми W_F. В общем случае уровень Ферми сам является функцией концентрации носителей. Общее решение этой задачи довольно сложно, но для некоторых частных случаев уровень Ферми W_F может быть легко найден. Ниже находится используемый в последующем изложении уровень Ферми для собственного и примесного полупроводников при температуре 300 К. Уровень W_F определяется при тепловом равновесии из условий электрической нейтральности полупроводника (закона сохранения заряда).