[Править] Обобщения
Простейшим обобщением конечномерного скалярного произведения в тензорной алгебре является свёртка по повторяющимся индексам. Аналогичное обобщение в принципе нетрудно сделать и в бесконечномерном случае (Для бесконечномерных пространств функций — см. примеры (выше)).
[Править] Примечания
-
↑ Ортонормированность базиса определяется условием
заключающемся в равенстве нулю скалярных произведений разных базисных векторов, например, первого и второго, первого и третьего, итд (ортогональность), и равенстве единице — скалярного произведения каждого базисного вектора с самим собой (нормированность). Упоминаемые в основном тексте формулы получаются прямым перемножением векторов, разложенных по такому базису, учитывая свойства скалярного произведения, особенно его билинейность, позволяющую раскрывать скобки итп как при вычислениях с обычными числами.
-
↑ В абстрактной формулировке названное условие
—
это всего лишь определение ортогональности.
Аналогично, две формулы выше в
абстрактной формулировке также являются
просто определениями соответствующих
понятий через скалярное произведение,
но они все могут с успехом быть
использованы в конкретных вычислениях,
например, в элементарной геометрии,
независимо от того, какая система
определений используется, современная
абстрактная или традиционная элементарная.
Евкли́дово простра́нство (также Эвкли́дово простра́нство) — в изначальном смысле, пространство, свойства которого описываются аксиомами евклидовой геометрии. В этом случае предполагается, что пространство имеет размерность 3.
В
современном понимании, в более общем
смысле, может обозначать один из сходных
и тесно связанных объектов, определённых
ниже. Обычно n-мерное евклидово
пространство обозначается
,
хотя часто используется не вполне
приемлемое обозначение
.
1.
Конечномерное гильбертово
пространство, то есть конечномерное
вещественное
векторное
пространство
с
введённым на нём (положительно
определенным) скалярным
произведением, порождающим норму:
,
в простейшем случае (евклидова норма):
где
(в
евклидовом пространстве всегда можно
выбрать базис,
в котором верен именно этот простейший
вариант).
2.
Метрическое
пространство, соответствующее
пространству описанному выше. То есть
с
метрикой, введённой по формуле:
,
где
и
.
Связанные определения
-
Под евклидовой метрикой может пониматься метрика, описанная выше, а также соответствующая риманова метрика.
-
Под локальной евклидовостью обычно имеют в виду то, что каждое касательное пространство риманова многообразия есть евклидово пространство со всеми вытекающими свойствами, например, возможностью (по гладкости метрики) ввести в малой окрестности точки координаты, в которых расстояние выражается (с точностью до какого-то порядка) в соответствии с описанным выше.
-
Метрическое пространство называют локально евклидовым также если возможно ввести на нём координаты, в которых метрика будет евклидовой (в смысле второго определения) всюду (или хотя бы на конечной области) - каковым, например, является риманово многообразие нулевой кривизны.