Определение

Пусть V будет линейное пространство над полем K и . M называется линейно независимым множеством, если любое его конечное подмножество является линейно независимым.

Конечное множество M' = {v₁,v₂,...,v_n} называется линейно независимым, если единственная линейная комбинация, равная нулю, тривиальна, то есть состоит из факторов, равных нулю:

Если существует такая линейная комбинация с минимум одним , M' называется линейно зависимым. Обратите внимание, что в первом равенстве подразумевается , а во втором .

Свойства

• линейно зависимо

• M линейно независимо M' линейно независимо для всех

• M линейно зависимо M' линейно зависимо для всех

Значение

Линейные системы уравнений

Линейная система n уравнений, где n — количество переменных, имеет однозначное решение тогда и только тогда, когда столбцы её основной матрицы являются линейно независимыми.

Ранг матриц

Ранг матрицы равен числу её линейно независимых строк или столбцов.

Геометрический смысл

• Векторы и линейно зависимы тогда и только тогда, когда они коллинеарны (лежат на параллельных прямых).

• Векторы линейно зависимы тогда и только тогда, когда они компланарны (лежат в одной плоскости).

Базис

Базис линейного пространства является в частности множеством линейно независимых векторов.

Базис. Размерность

• Конечная сумма вида

называется линейной комбинацией элементов с коэффициентами .

Линейная комбинация называется нетривиальной, если хотя бы один из её коэффициентов отличен от нуля.

• Элементы называются линейно зависимыми, если существует их нетривиальная линейная комбинация, равная нулю. В противном случае эти элементы называются линейно независимыми.

• Бесконечное подмножество векторов из L называется линейно зависимым, если линейно зависимо его некоторое конечное подмножество, и линейно независимым, если любое его конечное подмножество линейно независимо.

• Число элементов (мощность) максимального линейно независимого подмножества пространства не зависит от выбора этого подмножества и называется рангом, или размерностью, пространства, а само это подмножество — базисом (базисом Га́меля или линейным базисом). Элементы базиса также называют базисными векторами. Свойства базиса:

  • Любые n линейно независимых элементов n-мерного пространства образуют базис этого пространства.

  • Любой вектор можно представить (единственным образом) в виде конечной линейной комбинации базисных элементов:

.

Линейная оболочка

Линейная оболочка подмножества X линейного пространства L — пересечение всех подпространств L, содержащих X.

Линейная оболочка является подпространством L.

Линейная оболочка также называется подпространством, порожденным X. Говорят также, что линейная оболочка натянута на множество X.

Линейная оболочка состоит из всевозможных линейных комбинаций различных конечных подсистем элементов из X. В частности, если X — конечное множество, то состоит из всех линейных комбинаций элементов X.

Если X - линейно независимое множество, то оно является базисом и тем самым определяет его размерность.