- •1 Линейные пространства и подпространства. Примеры
- •Определение
- •Свойства
- •Значение
- •Базис. Размерность
- •Линейная оболочка
- •Примеры
- •Определения
- •[Править] Связанные определения
- •[Править] Свойства
- •[Править] Пример
- •Определение
- •[Править] Элементарное определение
- •[Править] Связанные определения
- •[Править] Примеры
- •[Править] Неравенство Коши — Буняковского
- •[Править] Применение
- •[Править] Обобщения
- •[Править] Примечания
- •Связанные определения
- •[Править] Примеры
- •Свойства
- •[Править] Примеры
- •Слабый закон больших чисел
- •[Править] Усиленный закон больших чисел
- •[Править] Математическое ожидание абсолютно непрерывного распределения
- •[Править] Математическое ожидание случайного вектора
- •[Править] Математическое ожидание преобразования случайной величины
- •[Править] Простейшие свойства математического ожидания
- •Определение
- •[Править] Замечания
- •[Править] Свойства
- •[Править] Пример
- •Определение
- •[Править] Свойства
- •Случай известной дисперсии
- •[Править] Случай неизвестной дисперсии
[Править] Примеры
-
В трёхмерном вещественном векторном пространстве векторов введение скалярного произведения по формуле превращает это пространство в евклидово пространство. Аналогичное утверждение верно для евклидова пространства любой размерности (в сумму тогда входит количество членов, равное размерности пространства).
-
В любом евклидовом пространстве (размерности n) всегда можно выбрать[1] ортонормированный базис
-
при разложении векторов по которому:
,
итд,
скалярное произведение будет выражаться приведенной выше формулой:
.
-
В таком же, но комплексном, пространстве, скалярное произведение вводится по несколько другой формуле: . Здесь через обозначено число, комплексно сопряжённое к . При таком определении скалярное произведение становится положительно определённым. Без комплексного сопряжения аксиома эрмитовости скалярного произведения была бы нарушена, а значит, вещественности определённой через него нормы вектора добиться бы не удалось, то есть норма в обычном смысле им бы не порождалась.
-
В пространстве измеримых интегрируемых с квадратами на некоторой области Ω вещественных функций можно ввести положительно определённое скалярное произведение:
-
В аналогичном случае для комплексных функций, если требуется эрмитовость (и положительная определённость) скалярного произведения, надо добавить комплексное сопряжение к f или g под интегралом.
-
При использовании неортонормированных базисов скалярное произведение выражается через компоненты векторов с участием метрического тензора gij:
при этом сама метрика (говоря точнее, ее представление в данном базисе) так связана со скалярными произведениями базисных векторов :
-
-
(метрика в ортонормированных базисах тривиальна, то есть представлена единичной матрицей gij = δij)
-
-
Аналогичные конструкции скалярного произведения можно вводить и на бесконечномерных пространствах, например, на пространствах функций:
где К — положительно определённая, в первом случае симметричная относительно перестановки аргументов (при комплексных x — эрмитова) функция (если нужно иметь обычное симметричное положительно определённое скалярное произведение).
[Править] Неравенство Коши — Буняковского
Для любых элементов и линейного пространства со скалярным произведением выполняется неравенство [1]
[Править] Применение
Использование скалярного произведения крайне широко, как в элементарных, так и в весьма абстрактных областях математики, физики и прикладных наук.
Широко известны следующие применения:
-
Любые геометрические вычисления (как собственно в математике, так и в приложениях), связанные с длинами, углами, проецированием, ортогональностью.
-
Например, теорема косинусов легко выводится с использованием скалярного произведения:
-
Угол между векторами:
-
Оценка угла между векторами:
в формуле знак определяется только косинусом угла (нормы векторов всегда положительны). Поэтому скалярное произведение > 0, если угол между векторами острый, и < 0, если угол между векторами тупой.
-
Проекция вектора на направление, определяемое единичным вектором :
,
-
условие ортогональности[2] (перпендикулярности) векторов и :
итд.
(При этом технические возможности вычислений со скалярными произведениями, как и вообще с векторами, значительно возрастают, если использовать — при желании или необходимости — и компонентное представление векторов вкупе с компонентным выражением скалярного произведения).
-
Площадь также выражается через скалярное произведение, например, двумерная площадь параллелограмма, натянутого на два вектора и , равна
-
Аналогичные вычисления в геометризованных теориях в физике (таких, как СТО или ОТО).
-
Разложение векторов по базису и переход к новому базису, являющееся основой многих разделов математики и ключевым приемом эффективного решения практических геометрических задач или практических задач, формулируемых на языке линейной алгебры (относящихся, например, к статистике).
-
В том числе, в бесконечномерном случае: ряды Фурье, преобразования Фурье.
-
В векторном анализе — вычисление контурных интегралов, потоков, применение с оператором набла.