- •1 Линейные пространства и подпространства. Примеры
- •Определение
- •Свойства
- •Значение
- •Базис. Размерность
- •Линейная оболочка
- •Примеры
- •Определения
- •[Править] Связанные определения
- •[Править] Свойства
- •[Править] Пример
- •Определение
- •[Править] Элементарное определение
- •[Править] Связанные определения
- •[Править] Примеры
- •[Править] Неравенство Коши — Буняковского
- •[Править] Применение
- •[Править] Обобщения
- •[Править] Примечания
- •Связанные определения
- •[Править] Примеры
- •Свойства
- •[Править] Примеры
- •Слабый закон больших чисел
- •[Править] Усиленный закон больших чисел
- •[Править] Математическое ожидание абсолютно непрерывного распределения
- •[Править] Математическое ожидание случайного вектора
- •[Править] Математическое ожидание преобразования случайной величины
- •[Править] Простейшие свойства математического ожидания
- •Определение
- •[Править] Замечания
- •[Править] Свойства
- •[Править] Пример
- •Определение
- •[Править] Свойства
- •Случай известной дисперсии
- •[Править] Случай неизвестной дисперсии
Определения
Пусть L есть векторное пространство над полем K и — базис в L.
Функция Q из L в K называется квадратичной формой если её можно представить в виде
где , а aij элементы поля K.
[Править] Связанные определения
-
Матрицу (aij) называют матрицей квадратичной формы в данном базисе.
-
В случае если характеристика поля K не равна 2, можно считать, что матрица квадратичной формы симметрична, то есть aij = aji.
-
-
Для любой квадратичной формы Q существует единственная билинейная симметричная форма B, такая, что
Q(x) = B(x,x)
-
Такую билинейную форму B называют полярной к Q.
-
Полярная форма может быть вычислена по формуле
-
Матрица квадратичной формы в произвольном базисе совпадает с матрицей полярной ей билинейной формы в том же базисе.
-
Если матрица квадратичной формы имеет полный ранг, то квадратичную форму называют невырожденной, иначе — вырожденной.
-
Квадратичная форма Q называется положительно (отрицательно) определённой, если для любого Q(x) > 0 (Q(x) < 0).
-
Положительно определённые и отрицательно определённые формы называются знакоопределёнными.
-
Квадратичная форма A(x,x) называется знакопеременной, если она принимает как положительные, так и отрицательные значения.
-
Квадратичная форма Q называется полуопределенной, если .
-
[Править] Свойства
-
Критерий Сильвестра
-
Квадратичная форма является положительно определенной, тогда и только тогда, когда все угловые миноры её матрицы строго положительны.
-
Квадратичная форма является отрицательно определенной, тогда и только тогда, когда знаки всех угловых миноров её матрицы чередуются, причем минор порядка 1 отрицателен.
-
-
Билинейная форма, полярная положительно определённой квадратичной форме, удовлетворяет всем аксиомам скалярного произведения.
-
Для любой квадратичной формы существует базис, в котором её матрица диагональна, а сама форма имеет канонический вид:
-
Разность между числом положительных (p) и отрицательных (n − p) членов в этой записи называется сигнатурой квадратичной формы. Сигнатура, также как и числа положительных и отрицательных слагаемых, не зависят от способов приведения квадратичной формы к каноническому виду (закон инерции Сильвестра).
-
Для приведения квадратичной формы к каноническому виду обычно используется метод Лагранжа.
[Править] Пример
Скалярное произведение векторов — симметричная билинейная функция. Соответствующая квадратичная функция сопоставляет вектору квадрат его длины.
Скалярное произведение. Евклидовы пространства.
Скаля́рное произведе́ние — операция над двумя векторами, результатом которой является скаляр (число), не зависящее от системы координат и характеризующее длины векторов-сомножителей и угол между ними. Данной операции соответствует умножение длины данного вектора x на проекцию другого вектора y на данный вектор x. Эта операция обычно рассматривается как коммутативная и линейная по каждому сомножителю.
Обычно используется одно из следующих обозначений:
,
,
,
или (обозначение Дирака, часто применяемое в квантовой механике для векторов состояния):
.
Обычно предполагается что скалярное произведение положительно определено, то есть
для всех .
Если этого не предполагать, то произведение называется индефинитным.