Матрица усилий прямоугольного кэ плиты

Zi

Dxμ

2Dxa

2Dμb

–3Dxa/a

Dxa

0

0

0

0

–3Dμb/b

0

Dμb

–3Dxa/a

–Dxa

0

Dxμ

–2Dxa

2Dμb

–3Dμb/b

0

Dμb

0

0

0

0

0

0

–3Dμb/b

0

–Dμb

Dxμ

–2Dxa

–2Dμb

–3Dxa/a

–Dxa

0

Zj

–3Dμb/b

0

–Dμb

0

0

0

–3Dxa/a

Dxa

0

Dxμ

2Dxa

–2Dμb

=

Dyμ

2Dμa

2Dyb

–3Dμa/a

Dμa

0

0

0

0

–3Dyb/b

0

Dyb

–3Dμa/a

–Dμa

0

Dyμ

–2Dμa

2Dyb

–3Dyb/b

0

Dyb

0

0

0

Zk

0

0

0

–3Dyb/b

0

–Dyb

Dyμ

–2Dμa

–2Dyb

–3Dμa/a

–Dμa

0

–3Dyb/b

0

–Dyb

0

0

0

–3Dμa/a

Dμa

0

Dyμ

2Dμa

–2Dyb

–8Dka/b

–Dkb

–Dka

8Dka/b

–Dkb

Dka

–8Dka/b

Dkb

Dka

8Dka/b

Dkb

–Dka

Zl

В таблице 8.6:

2. Учет односторонней связи с основанием

Из принятых положительных направлений усилий и перемещений (см. рис. 8.13) и поверхности прогиба (8.66) видно, что контакт нижней поверхности элемента с поверхностью упругого основания будет осуществляться при Z_i > 0; Z_j > 0; Z_l > 0; Z_k > 0; > 0; > 0; > 0; > 0; < 0; < 0; < 0 и < 0. В противном случае при допущении односторонней связи будет происходить отлипание нижней поверхности элемента от поверхности основания.

На основании этого диагональную матрицу единичных функций (8.21) можно записать в виде:

h_g = [h_i h_i h_i h_i h_j h_i h_i h_j h_j h_i h_i h_j] (8.72)

Пример 8.4. Требуется рассчитать плиту, свободно стоящую на упругом основании (рис. 8.15) с коэффициентом постели k₀ = 12,7 Н/см³ при нагрузке силами F₁ = 23 кН и F₂ = 46 кН. Материал плиты – бетон (жесткость E = 3,1∙10⁶ Н/см², μ = 0,15). Расчет произвести без учета односторонней связи с основанием.

Решение. 1. Определим жесткостные характеристики плиты (8.69):

μ_x = μ_y = 0,15; ν = 1 – μ_x μ_y =0,9775; G = 3,1∙10⁶/2(1+ 0,15) = 1,349∙ 10⁶ Н/см²;

D = D_x = D_y = 3,1∙10⁶∙40³/(12∙0,9775) = 169,139∙ 10⁸ Н∙см;

D_k = 1,349∙10⁶∙40³/6 = 0,851D.

2. Составим дискретную схему плиты, разбив ее на конечные элементы. Рассматриваемая плита (см. рис. 8.15) при заданном загружении имеет четыре оси симметрии. В силу этого при расчете можно рассмотреть 1/4 часть плиты, а уравнения метода перемещений, используя диагональную ось симметрии, составить для 1/8 части. На рис. 8.16 показана сетка разбивки четверти плиты на конечные элементы со сторонами а = в = 100 см. В силу симметрии для 1/8 части плиты можно сформулировать следующие граничные условия: в узлах 1, 2, 3 әw/әy = 0; в узлах 4, 7, 9 әw/әy = әw/әx.

Таким образом, разрешающая система уравнений буде 21 – го порядка.

3. Вычислим матрицы жесткости конечных элементов, приняв за общий множитель величину D/a : матрицу - по таблице 8.2; матрицу - по таблице 8.3. Так размеры всех элементов одинаковы, то и матрицы жесткости будут одинаковы. Матрицы , и их сумма приведены, соответственно в таблицах 8.7 – 8.9. Так как общие оси координат совпадают о местными, то блоки матриц жесткости

4. В соответствие с заданной расчетной схемой (см. рис. 8.15) и схемой разбивки на конечные элементы (см. рис. 8.16) матрицы свободных членов системы уравнений для каждого узла будут:

5. Составим канонические уравнения в общем виде на основании (8.64) из условий равновесия каждого узла:

Узел 1. r_iiZ₁ + r_ijZ₂ + r_ilZ₄ + r_ikZ₅ + R₁ =0;

Узел 2. r_jiZ₁ + (r_jj+r_ii)Z₂ + r_ijZ₃ + r_jlZ₄ + (r_jk+r_il)Z₅ + r_ikZ₆ + R₂ =0;

Узел 3. r_jiZ₂ + r_jjZ₃ + r_jlZ₅ + r_jkZ₆ + R₃ =0;

Узел 4. 0,5(r_li+r_ji)Z₁ + 0,5(r_lj+r_jl)Z₂ +0,5(r_ll + r_jj + r_ii)Z₄ +

+0,5(r_lk+ r_ij + r_jk + r_il)Z₅ + 0,5r_ikZ₇ + R₄ =0;

Узел 5. r_kiZ₁ + (r_kj+r_li)Z₂ + r_ljZ₃ +(r_kl + r_ji)Z₄ +(r_kk+ r_ll + r_jj + r_ii)Z₅+

+(r_lk+ r_ij)Z₆ +(r_jk+ r_li)Z₇ + r_ikZ₈ + R₅ =0;

Узел 6. r_kiZ₂ + r_kjZ₃ +(r_kl+r_ji)Z₅+(r_kk+r_jj)Z₆ + r_jlZ₇ + r_jkZ₈ + R₆ =0;

Узел 7. 0,5r_kiZ₄ +0,5(r_kj+ r_li + r_kl + r_ji)Z₅+ 0,5(r_lj+r_ji)Z₆ +

+0,5(r_kk+ r_ll + r_jj + r_ii)Z₇+0,5(r_lk+ r_ij + r_il + r_jk)Z₈+0,5 r_ikZ₉ + R₇ =0;

Узел 8. r_kiZ₅ +r_kjZ₆ +(r_kl + r_ji)Z₇ +(r_kk+r_jj + 0,5r_jl)Z₈+r_ikZ₈ + R₈ =0;

Узел 9. 0,5r_kiZ₇ +0,5(r_kj + r_kl)Z₈ +0,5r_kkZ₉ + R₉ =0.

С учетом граничных условий в полученные выражения подставим матрицы неизвестных, пронумеровав их по порядку, начиная с узла 1:

Таблица 8.7