I = q = |
d |
(qmax cos(ωt −α)) = −ωqmax sin(ωt −α) = |
. |
|||||||||||
|
dt |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
=ωqmax cos(ωt −α +π 2) = Imax cos(ωt −ϕ) |
|
|||||||||||||
Imax = |
|
|
|
ωU max |
|
= |
|
U max |
|
, |
||||
|
|
|
−1 |
2 |
|
−1 |
2 |
|||||||
|
|
|
2 |
|
2 |
|
||||||||
|
ω |
R |
|
+ |
|
|
+ωL |
R |
|
+ |
|
|
+ωL |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
ωC |
|
|
|
ωC |
|
|
||||
tg ϕ = tg( α - π / 2 ).
|
|
|
|
|
ωL − |
|
1 |
|
|
|
tgα = |
R |
tgϕ = tg(α −π |
2) = |
ωC . |
||||||
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
1 |
|
|
|
R |
|
|
|
||
L |
|
−ωL |
|
|
|
|
|
|
|
|
ωC |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
(8.22)
(8.23)
(8.24)
Ток отстает по фазе от напряжения ( ϕ > 0 ) , если ωL > 1 / ωC , и опережает напряжение
(ϕ < 0), если ωL < 1 / ωC.
§9. Амплитуда и фаза вынужденных колебаний
Рассмотрим, зависит ли амплитуда вынужденных колебаний А от частоты ω и как. Механические и электромагнитные колебания будем рассматривать одновременно.
A = |
|
|
|
F0 m |
|
|
, |
(9.1) |
|
(ω02 −ω2 )2 + 4δ 2ω2 |
|
||||||||
qm = |
|
|
|
Um |
|
|
. |
|
|
|
|
|
−1 |
|
2 |
(9.2) |
|||
|
|
|
2 |
|
|
||||
|
ω |
R |
|
+ |
|
+ |
ωL |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
ωC |
|
|
|
|
|
Найдем максимум формул (9.1), (9.2), т.е. реальную частоту, при которой амплитуда смещения или заряда достигает максимума.
Продифференцируем подкоренное выражение (9.1) и (9.2) по ω и приравняем эти выражения к 0. Получаем:
−2ω(ω02 −ω2 )2 +8δ 2ω = 0 |
−2δ 2 −ω02 −ω2 = 0 |
. |
(9.3) |
|
−4ω(2δ 2 −(ω02 −ω2 )) = 0 |
ω2 =ω02 −2δ 2 |
|||
|
|
|||
Равенство (9.3) выполняется при: |
|
|
|
|
ω = 0 |
|
|
|
|
ω = ± ω02 −2δ 2 – физический смысл имеет значение ω02 − 2δ 2 |
|
|
||
Резонансная частота равна: |
|
|
|
|
ωрез = ω02 −2δ 2 . |
|
(9.4) |
||
Резонансом механическим или электрическим называется явление резкого возрастания амплитуды вынужденных колебаний при приближении частоты вынуждающей силы ( частоты вынуждающего переменного напряжения ) к резонансной частоте.
Если δ2 << ω2 , то ωрез ωо , тогда подставим (9.4) в (9.1).
22
Aрез = |
|
x0 |
= |
x0 |
|
|
−(ω02 |
−ω2 )2 + 4δ 2ω2 |
2δ ω02 |
−2δ 2 |
|||
ω02 |
|
Чем меньше δ , тем правее лежит максимум данной кривой.
Графически зависимость А = f ( ω ) при различных значениях δ можно представить в виде графика:
Ax
δ растет
x0
ω02
ωрез ω |
ω |
о |
|
а)
δ растет
π
π
2
0 |
ωo |
2ωo |
б)
Рис. 9.1. Графики зависимостей амплитуды и фазы колебаний как функции от циклической частоты ω.
Если δ = 0 , то ϕ = 0 (фазы одинаковы)
Если ω → 0, то все кривые приходят к одному и тому же предельному значению:
A = 2 |
2 |
x0 |
2 |
) |
2 |
+ 4δ |
2 |
ω |
2 |
x02 . |
(9.5) |
ω0 |
−(ω0 |
−ω |
|
|
|
|
ω0 |
|
эта величина называется статическим отклонением. А совокупность кривых – резонансными кривыми. Для механических колебаний:
Aпр = |
x0 |
= |
F0 |
= |
F0 |
. |
(9.6) |
2 |
2 |
|
|||||
|
ω0 |
mω0 |
|
k |
|
||
23
Для электромагнитных колебаний:
Aпр = |
U max |
|
= |
U max |
=U maxC . |
(9.7) |
|||
2 |
|
|
|||||||
|
Lω0 |
|
|
1 C |
|
|
|
|
|
Если же ω → ∞ , то все кривые асимптотически стремятся к 0. |
|
||||||||
Если затухание мало ( δ2 << ω2о ), то |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Арез = xoωо2 / 2δLωо = |
|
x0 |
ω0 =xoQ/ωо2 |
|
|||||
ω02 |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
2δ |
|
||
Для мех. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Арез=FoQ/mωо2 |
|
|||||||
Qмех=ωо2 / 2δ Aрез=UoQLC/L |
|
||||||||
|
Q = |
ω0 |
|
|
|
(9.8) |
|||
|
|
|
|
|
2δ |
|
|
|
|
добротность колебательного контура. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
λ =πR C |
, |
|
(9.9) |
|||||
|
|
|
|
|
L |
|
|
|
|
|
Q = |
π = |
1 |
|
L |
. |
(9.10) |
||
|
|
λ |
R |
|
C |
|
|
||
Добротность ( колебательной системы ) характеризует свойства колебательной системы, чем больше добротность, тем больше резонансная амплитуда.
Вопросы для повторения
1.Какие колебания называются затухающими?
2.По какому закону изменяется амплитуда затухающих колебаний?
3.Какой зависимостью связаны: циклическая частота затухающих колебаний, частота собственных свободных колебаний и коэффициент затухания?
4.Какая величина называется декрементом затухания?
5.Какая величина называется логарифмическим декрементом затухания?
6.Какая величина называется добротностью колебательного контура?
7.Какая величина называется временем релаксации?
8.Являются ли затухающие колебания периодическими?
9.Почему частота затухающих колебаний должна быть меньше частоты собственных колебаний системы?
10.Что такое автоколебания?
11.Чем отличаются автоколебания от вынужденных и свободных незатухающих колебаний?
§10. Сложение гармонических колебаний одного направления и одинако- вой частоты
Колеблющееся тело может участвовать в нескольких процессах. Найдем результирующее колебание, т.е. сложим гармонические колебания одного направления и одинаковой частоты.
24
Пусть складывается два колебания. Представим каждое гармоническое колебание методом вращающегося вектора амплитуды.
Пусть:
x1 = A1 cos(ω0t −ϕ1 ) . |
(10.1) |
x2 = A2 cos(ω0t −ϕ2 ) |
|
Графически изобразим эти колебания. Т.к. вектора А1 и А2 вращаются с одинаковой угловой скоростью ωо, то разность фаз между ними ( ϕ2 – ϕ1 ) остается постоянной, и уравнение результирующего колебания будет иметь вид :
x = x1 + x2 = Acos(ω0t −ϕ) . |
(10.1′) |
||
y |
|
|
|
|
|
А |
|
y1 |
|
|
|
А2 |
|
|
|
ϕ2 |
|
ϕ2-ϕ1 |
|
ϕ |
А1 |
|
|
y2 |
|
|
|
ϕ1 |
|
|
|
х1 |
х |
х2 |
х |
|
|
|
|
Рис.10.1. Сложение гармонических колебаний одного направления и одинаковой частоты
AG = AG1 + AG2
x = x1 + x2 y = y1 + y2
Из рисунка: |
x1 = A1 cosϕ1 |
|
y1 = A1 sinϕ1 |
|
||||
|
x |
2 |
= A cosϕ |
2 |
y |
2 |
= A sinϕ |
2 |
|
|
2 |
|
2 |
||||
По теореме косинусов А2 = А21 + А22 + 2А1А2 cos (ϕ2 - ϕ1)/
A = A2 |
+ A2 |
+ 2A |
1 |
A cos(ϕ |
2 |
−ϕ |
) . |
(10.2) |
1 |
2 |
|
2 |
1 |
|
|
tgϕ = |
y1 |
+ y2 |
= |
A1 sinϕ1 |
+ A2 sinϕ2 |
. |
(10.3) |
x1 |
|
A1 cosϕ1 |
|
||||
|
+ x2 |
+ A2 cosϕ2 |
|
||||
Т.е., тело, участвуя в двух гармонических колебаниях одного направления и одной частоты, совершает также гармонические колебания в том же направлении и с той же частотой, что и складываемые колебания. Амплитуда результирующего колебания зависит от разности фаз складываемых колебаний.
Как же будет изменяться величина амплитуды в зависимости от разности фаз (ϕ2 - ϕ1)
1) ϕ2 – ϕ1 = ± 2mπ ( m = 0,1,2,3,.....), то
А = А1 + А2 – амплитуда результирующего колебания равна сумме амплитуд складываемых колебаний.
2) ϕ2 – ϕ1 = ± ( 2m + 1 )π ( m = 0,1,2,3,.....)
25