Тольяттинский государственный университет Физико-технический институт
Кафедра «Общая и теоретическая физика»
Потемкина С.Н.
КУРС ЛЕКЦИЙ ПО ФИЗИКЕ
3й семестр
Модуль 7
КОЛЕБАНИЯ И ВОЛНЫ
Тольятти 2007
Содержание |
|
Глава 17. Колебательные процессы ................................................................................................................................ |
3 |
§1. Гармонические колебания и их характеристики................................................................................................ |
3 |
§2. Кинематические характеристики гармонических колебаний и дифференциальное уравнение |
|
гармонических колебаний.......................................................................................................................................... |
4 |
Вопросы для повторения....................................................................................................................................... |
6 |
§3. Энергия механических гармонических колебаний............................................................................................ |
6 |
§4. Гармонический осциллятор. Колебания пружинного, физического и математического маятников............ |
7 |
1. Колебания пружинного маятника.................................................................................................................... |
8 |
2. Колебания математического маятника............................................................................................................ |
8 |
3. Колебания физического маятника.................................................................................................................... |
9 |
§5. Фазовый портрет маятника. Адиабатический инвариант................................................................................ |
10 |
Вопросы для повторения..................................................................................................................................... |
11 |
§6. Свободные гармонические колебания в колебательном контуре................................................................... |
12 |
§7. Дифференциальное уравнение затухающих колебаний (механических и электромагнитных) и его |
|
решение...................................................................................................................................................................... |
15 |
1. Свободные затухающие колебания пружинного маятника......................................................................... |
17 |
2. Свободные затухающие колебания в электрическом колебательном контуре.......................................... |
18 |
§8. Дифференциальное уравнение вынужденных механических и электромагнитных колебаний и его |
|
решение...................................................................................................................................................................... |
18 |
§9. Амплитуда и фаза вынужденных колебаний.................................................................................................... |
22 |
Вопросы для повторения..................................................................................................................................... |
24 |
§10. Сложение гармонических колебаний одного направления и одинаковой частоты.................................... |
24 |
Биения................................................................................................................................................................... |
26 |
§11. Сложение взаимно перпендикулярных колебаний........................................................................................ |
27 |
Вопросы для повторения..................................................................................................................................... |
29 |
Глава 18. Упругие волны................................................................................................................................................ |
29 |
§12. Волны. Плоская стационарная волна.............................................................................................................. |
29 |
§13. Уравнение бегущей волны. Фазовая скорость............................................................................................... |
31 |
§14. Принцип суперпозиции. Групповая скорость................................................................................................ |
32 |
§15. Стоячие волны................................................................................................................................................... |
33 |
Глава 19. Электромагнитные волны.............................................................................................................................. |
34 |
§16. Экспериментальное получение электромагнитных волн.............................................................................. |
34 |
§17. Дифференциальное уравнение электромагнитных волн............................................................................... |
35 |
§18. Энергия электромагнитной волны. Импульс электромагнитного поля....................................................... |
36 |
Вопросы для повторения..................................................................................................................................... |
37 |
2
Механические и электромагнитные колебания
Глава 17. Колебательные процессы
§1. Гармонические колебания и их характеристики
Движения или процессы, характеризуемые определенной повторяемостью во времени назы-
ваются колебаниями.
Примеры колебательных процессов: качание маятника часов, переменный электрический ток. В первом случаи при колебательном движении маятника изменяется координата его центра масс, во втором – сила тока и напряжение в цепи.
В зависимости от физической природы колебаний различают колебания механические, электромагнитные и другие. Но различные колебательные процессы описываются одинаковыми характеристиками и одинаковыми уравнениями. Т.е. целесообразен единый подход к изуче-
нию колебаний различной физической природы.
Единый подход к изучению механических и электромагнитных колебаний применялся: английским физиком Д.У. Рэлеем ( 1842 - 1919 гг. ) русским физиком А. Г. Столетовым и русским инженером экспериментатором П. Н. Лебедевым ( 1866 - 1912 гг. ) Л. И. Мандельштамом и его учениками (1879 - 1944 гг.).
Колебания называются свободными (собственными), если они совершаются за счет первоначально сообщенной энергии при последующем отсутствии внешних воздействий на колебательную систему.
Колебательной системой - называется система, совершающая колебания.
Простейшим типом колебаний являются гармонические колебания.
Колебания, при которых колеблющаяся величина изменяется со временем по закону синуса ( косинуса ) называются гармоническими.
Рассмотрение гармонических колебаний важно по двум причинам:
1.колебания, встречающиеся в природе и технике, часто имеют характер, близкий к гармоническому.
2.различные периодические процессы можно представить как наложение гармонических колебаний.
Гармонические колебания величины S описываются уравнением: |
|
S = Acos(ω0t +ϕ0 ) |
(1.1) |
или |
|
S = Asin(ω0t +ϕ0 ) |
(1.1’) |
S = Smax cos(ω0t +ϕ0 ) |
(1.1’’) |
или |
|
S = Smax sin(ω0t +ϕ0 ) , |
(1.1’’’) |
где Smax = A – максимальное значение колеблющейся величины, называемое амплитудой колебания
ωo – круговая ( циклическая ) частота, собственных (свободных) гармонических колебаний; ϕo – начальная фаза колебания в момент времени t = 0;
(ω0t +ϕ0 ) – фаза колебания в момент времени t. Что определяет фаза колебания?
3
Фаза колебания определяет значение колеблющейся величины в данный момент времени. Т.к. косинус изменяется от +1 до –1 , то S изменяется от +А до –А, или от + Smax до – Smax.
Периодом колебания называется промежуток времени Т, за который фаза получает при-
ращение 2π , т.е. ω0 (t +T ) +ϕ0 −(ω0t +ϕ0 ) = 2π ωо(t + Т ) + ϕo - (ωot + ϕo ) = 2π |
|
|||
T = |
2π , |
(1.2) |
||
|
ω0 |
|
||
отсюда |
|
|
|
|
ω0 |
= |
2π |
. |
|
|
|
|||
|
|
T |
|
|
Определенное состояния системы, совершающей гармонические колебания, повторяются через промежуток времени Т, называемый периодом колебания.
В СИ [T] = 1 с
[ωo ] = 1 рад/c = 1 c-1
Частотой колебаний называется число полных колебаний, совершаемых в единицу времени.
ν = |
1 |
. |
(1.3) |
|
|||
|
T |
|
|
В СИ [ν] = 1 Гц = 1 с-1
Величина, обратная периоду колебаний, называется частотой.
1 Гц – частота периодического процесса, при которой за 1 с совершается один цикл процес-
са.
Сравнивая (1.2) и (1.3) получаем: |
|
|
ν = |
ω0 |
(1.4) |
|
2π |
|
или |
|
|
ω0 = 2πν . |
(1.5) |
|
§2. Кинематические характеристики гармонических колебаний и диффе- ренциальное уравнение гармонических колебаний
Найдем скорость и ускорение, с которым совершается данный колебательный процесс:
V = dSdt = S'= −Aω0 sin(ω0t +ϕ0 ) = Aω0 cos(ω0t +ϕ0 + π2 ) .
Vmax = Aω0 ,
амплитуда скорости , т.е. скорость изменяется от +Vmax = +Aω0 до −Vmax = −Aω0 .
a = |
dV |
= |
d 2 S |
2 |
2 |
cos(ω0t +ϕ0 |
+π) . |
dt |
dt 2 |
= −Aω0 |
cos(ω0t +ϕ0 ) = Aω0 |
||||
|
|
|
|
|
|
amax = Aω02 ,
амплитуда ускорения, т.е. ускорение изменяется от +amax = +Aω02 до −amax = −Aω02
(2.1)
(2.2)
(2.3)
(2.4)
Сравнивая (2.1) и (1.1) и (2.3) и (1.1) видим, что фаза скоростb отличается от фазы величины
S на π/2, а фаза ускорения от фазы величины S на π, т.е. когда S = 0 , скорость Vmax, когда S минимально, то аmax.
Построим графики зависимости S = f (t) , V = f (t) , a = f (t) (см. рисунки 2.1а, 2.1б, 2.1в).
4
S |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+A |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
T/ |
|
3T/4 |
|
|
t |
|||
|
|
|
|||||||
T/ |
|
|
|
T |
|||||
|
|
|
|||||||
-A |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
а |
|
|||||
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+A |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
T/ |
T/ |
|
3T/4 |
|
|
T |
|||
|
|
||||||||
-A |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
б |
|
|||||
V |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+Aω2o |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
3T/4 |
t |
|||
|
|
|
|
||||||
|
|
|
T/2 |
|
T |
||||
T/4 |
|
|
|||||||
–Aω2o |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
в |
|
|||||
|
Рис. 2.1. |
|
|||||||
Перепишем (2.3) так: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
d 2 S |
= −ω02 S , |
(2.5) |
||||||
|
dt 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
следовательно |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
S''+ω02 S = 0 . |
(2.6) |
|||||||
Уравнение (2.6) называют дифференциальным уравнением гармонических колебаний. Его решением является уравнение (1.1) или (1.1′).
Графически гармоническое колебание можно изобразить методом вращающегося вектора амплитуды или методом векторных диаграмм.
Y |
|
|
ωo |
|
Ā |
|
|
|
|
|
|
|
ϕо |
|
|
0 |
S |
|
х |
|
|||
|
|
|
Рис. 2.2. Графическое изображение гармонического колебания методом вращающегося вектора амплитуды
5