амплитуда напряжения.

Колебания тока опережают на π/2 по фазе колебания заряда. Свободные электромагнитные колебания в контуре являются незатухающими. Когда ток достигает максимального значения, заряд и напряжение обращаются в ноль.

§7. Дифференциальное уравнение затухающих колебаний (механических и электромагнитных) и его решение

Свободными затухающими колебаниями называются колебания, амплитуда которых из-за потерь энергии колебательной системой с течением времени уменьшается.

Линейные системы - это идеализированные реальные системы, в которых параметры, определяющие физические свойства системы, в ходе процесса не изменяются.

Линейные системы это : пружинный маятник при малых растяжениях ( когда справедлив закон Гука ), колебательный контур ( у которого индуктивность, емкость и сопротивление не зависят ни от тока в контуре, ни от напряжения ).

Различные по своей природе линейные системы описываются идентичными линейными дифференциальными уравнениями.

Дифференциальное уравнение затухающих колебаний линейной системы имеет вид:

где S - колеблющаяся величина , описывающая тот или иной физический процесс ; δ = const - коэффициент затухания;

ωо - циклическая частота свободных незатухающих колебаний той же колебательной системы, т.е. при δ = 0 ; ωо - называется собственной частотой колебательной системы.

Рассмотрим решение уравнения (7.1) в виде:

15

Решение уравнения (7.5) зависит от знака коэффициента перед искомой величиной. Рассмотрим случай, когда этот коэффициент положителен

ω =ω02 −δ 2 ;

ω > 0 ;

t

- Ao

Рис.7.1. График зависимости амплитуды затухающих колебаний как функция от времени

Промежуток времени, в течении которого амплитуда затухающих колебаний уменьшает-

ся в е раз называется временем релаксации.

А = Ао e -δt , Ао/A=e; -δτ =1 => 1/δ = τ

Затухающие колебания не являются строго периодическими, и понятие периода можно вво-

дить только при малых затуханиях, как промежуток времени между двумя последующими максимумами или минимумами колеблющейся физической величины.

С учетом этого:

Логарифмическим декрементом затухания (λ) называется физическая величина числено равная логарифму натуральному отношению двух амплитуд, следующих друг за другом через период:

16

Для характеристики колебательной системы вводят понятие добротности Q, которая при

λ << 0, равна:

[Q] = 1 – величина безразмерная

(так как δ2 << ωо2, T = T0)

Добротность, это физическая величина, обратно пропорциональная логарифмическому декременту затухания.

Учтем, что λ = δТ = (1/τ)*(Т/1) = 1 / Ne, тогда Q = π / λ = πNe = π / δТо = ωо / 2δ

Выводы, полученные для свободных затухающих колебаний линейных систем, применимы для колебаний различной физической природы (механических, электромагнитных)

1. Свободные затухающие колебания пружинного маятника

Для пружинного маятника, совершающего малые гармонические колебания под действием упругой силы F = - kx, а еще на него действует сила трения

где r - коэффициент сопротивления, ( - ) показывает, что направления силы трения и скорости противоположны.

дифференциальное уравнение затухающих колебаний маятника, но его решение имеет вид:

17

2. Свободные затухающие колебания в электрическом колебательном контуре

Если в колебательном контуре R ≠ 0 , то дифференциальное уравнение свободного затухающего колебания заряда в контуре имеет вид:

ω<ωо.

1

Если R = 0 , то ω = ωо = LC Логарифмический декремент определяется так:

C ростом δ растет и период затухающих колебаний и при δ = ωо Т = =∞ , колеблющаяся величина асимптотически приближается к 0, когда t → ∞. Процесс перестает быть периодическим.

Оказывается возможно поддерживать колебания незатухающими. Для этого необходимо восполнять потери энергии в реальной колебательной системе. Особенно широко применяются автоколебания.

Автоколебания - незатухающие колебания, поддерживаемые в колебательной системе за счет постоянного внешнего источника энергии, а свойства этих колебаний определяются самой системой.

Автоколебательная система сама управляет внешними воздействиями, обеспечивая согласованность поступления энергии нужными порциями в нужный момент. Примером автоколебательной системы могут служить часы. Механизм подталкивает маятник в такт с его колебаниями. Энергия, передаваемая при этом берется либо за счет раскручивающийся пружины, либо за счет опускающегося груза. Автоколебательными системами являются также ДВС, паровые турбины, ламповый генератор.

§8. Дифференциальное уравнение вынужденных механических и электро- магнитных колебаний и его решение

18

Для того чтобы в реальной колебательной системе получить незатухающие колебания, необходимо компенсировать потери энергии. Это возможно с помощью периодически действующего, меняющегося по гармоническому закону фактора:

Для электромагнитных колебаний - роль х( t ) играет внешняя (подводимая) к контактам ЭДС (напряжение). U ( t ) = Uo cos ω t

б) Для электрического колебательного контура роль х( t ) играет проводимая к контуру внешняя периодически изменяющаяся по гармоническому закону ЭДС или напряжение

(рис. 8.1):

Рис. 8.1. Колебательный контур, в котором возникают вынужденные электрические колебания.

Вынужденными механическими колебаниями или вынужденными электромагнитными колебаниями называются колебания, возникающие под действием внешней периодически изменяющейся силы или внешней периодически изменяющейся ЭДС.

уравнение описывающее вынужденные колебания величины S.

Решением этого уравнения является сумма решений однородного дифференциального уравнения и частного решения неоднородного дифференциального уравнения.

19

Sч.р.н.д.у. = A e i( ωt - ϕ ) или вещественная часть, являющаяся частным решением уравнения (8.9) имеет вид:

полное решение уравнения (8.9).

Слагаемое S1 играет существенную роль при установлении колебаний (в начальной стадии процесса), пока амплитуда вынужденных колебаний не достигнет значения, определяемого

(8.14).

Графически вынужденные колебания могут быть представлены так:

20

S

t

Установление колебаний

Рис. 8.2. Установление вынужденных колебаний.

В установившемся режиме вынужденные колебания происходят с частотой ω и являются гармоническими, амплитуда и фаза колебаний определяются формулами (8.14) и (8.15) и зависят от ω.

Запишем формулы (8.14) и (8.15) применительно к механическим и электромагнитным колебаниям для установившегося режима:

1) механические колебания:

21