Конец радиуса-вектора r неподвижен в данной системе отсчета, а его начало движется со скоростью υG .
Вектор B (согласно формуле 27.1, рис.27.1.) направлен перпендикулярно плоскости, в кото-
рой расположены векторы υG и rG, причём вращение вокруг вектора υ в направлении вектора B образует с направлением υG правовинтовую систему.
ВекторB – аксиальный вектор или псевдовектор.
При υG << с ЭСП свободно движущегося заряда в каждый момент времени практически не отличается от ЭСП, создаваемого неподвижным зарядом, находящимся в той точке, где в данный момент находится движущийся заряд. Это ЭСП перемещается вместе с зарядом, вследствие чего поле в каждой точке пространства изменяется со временем.
При υG ~ с, поле в направлениях перпендикулярных υ , оказывается заметно сильнее, чем в направлении движения на таком же расстоянии от заряда.
Рис. 27.2
Поле сплющивается в направлении движения, сосредотачиваясь в основном вблизи проходящей через заряд плоскости, перпендикулярно к вектору υ .
Пусть υ = 0.8c , тогда вид поля приведен на рис. 27.2.
§28. Закон Био-Савара-Лапласа
Выясним характер магнитного поля, создаваемого произвольным тонким проводом, по которому течет ток.
Рис. 28.1
Рассмотрим малый элемент длины провода – dl , пусть S – площадь поперечного сечения провода (рис. 28.1.), тогда число носителей N = nυ = nSdl
21
|
dBG = |
μ0dq[υ,r ] |
, |
|
(28.1) |
|||
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
4πr3 |
|
|
|
|
|
ноdq = ρdυ, а ρ = en , a j = en < υ > |
|
|
|
|
|
|
|
|
или |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
j = ρυ, |
|
|
|
|
(28.2) |
||
где ρ – объемная плотность заряда, являющимся носителем тока |
|
|||||||
|
Тогда |
|
μοdq[j,rG]dυ |
|
|
|||
|
G |
|
|
|
||||
|
dB = |
|
|
|
|
|
. |
(28.3) |
|
|
4πr3 |
|
|
|
|||
|
Введем вектор dGl : |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
jdυ = jSdl |
= S dl I/S = I dl ; |
(28.4) |
|||||
|
jdυ = Idl |
|
|
|
|
(28.5) |
||
в векторном виде, где |
|
|
|
|
|
|
|
|
jdυ – объемный элемент тока, |
|
|
|
|
|
|
|
|
G |
– линейный элемент тока, |
|
|
|
|
|
|
|
Idl |
|
|
|
|
|
|
|
|
G |
– единичный вектор, направленный по оси элемента тока длиной dl в направлении тока. |
|||||||
dl |
||||||||
|
G |
|
μ I [dl,rG |
] |
|
|
|
|
|
dB = |
|
0 |
|
|
; |
|
(28.6) |
|
|
4πr3 |
|
|
|
|
||
j↑↑dl .
Формулы (28.3) и (28.6) выражают закон Био-Савара-Лапласа.
В 1820г. Био и Савар провели исследования магнитных полей, образованных токами, текущими по проводам различной формы. Лаплас проанализировал экспериментальные данные, полученные Био и Саваром, и нашел, что:
G |
N G |
|
Bрез = ∑Bi . |
(28.7) |
|
i=1
Для магнитной индукции поля, создаваемого линейным элементом тока силой I длины dl, Лаплас получил формулу (28.6.) – это соотношение получило название закона Био–Савара-
Лапласа, или кратко Био-Савара. Вектор dB направлен перпендикулярно к плоскости, в кото-
рой лежат векторы dGl и r .
Модуль вектора элементарной магнитной индукции, поля созданного линейным элементом проводника стоком равен:
dB = |
μ0 |
Idl sinα |
, |
(28.8) |
4πε0 |
r2 |
где α – угол между векторами dGl и r .
22
Расчет по формулам (28.3, 28.6, 28.8) индукции МП тока произвольной конфигурации сложен. Но расчет упрощается, если распределение тока имеет некоторую симметрию.
Приведем несколько простейших примеров расчета индукции магнитного поля тока.
Пример 1
Магнитное поле прямого тока, т.е. тока, текущего по тонкому проводу бесконечной длины
(рис. 28.2.).
Рис.28.2
∆MСD ~ ∆MОА.
DC = rdα , OA = r0 ,
DM = dl , MA = r ,
sin a = rda/dl , |
(1) |
sin a = r0 /r , |
(2) |
dl = r2 da/r0 .
Согласно закону Био-Савара-Лапласа, модуль магнитной индукции элемента проводника с током:
dB = μμοIdl r sin α/ 4πr3 = μμοIdl sin α/ 4π r2 . |
(3) |
|||
Все вектора dBG в данной точке имеют одинаковое направление: |
перпендикулярно плоско- |
|||
сти чертежа, за чертеж ( B ), поэтому можно ∑ dBi |
заменить на ∑ dBi |
(их модулей) |
||
dB = μμ0 Ir2da sin a |
; |
|
||
|
4πr2r |
|
|
|
|
0 |
|
|
|
dB = |
μμ0 I sin αda |
. |
|
(4) |
4πr2r |
|
|||
|
0 |
|
|
|
Угол α для всех элементов бесконечно длинного прямого тока изменится от 0 до π, тогда получаем:
|
|
μμ |
I π |
|
μμ |
I |
(−1)[cos π − cos90°]= |
2μμ |
I |
|
||
B |
= ∫ dB = |
0 |
|
∫ sin ada = |
0 |
|
|
0 |
|
, |
||
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
4πr |
0 |
|
4πr |
|
|
4πr |
|
|
||
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
0 |
|
|
|
0 |
|
|
0 |
|
|
23
|
B |
|
= |
μμ0 I |
. |
(5) |
|
|
|||||
|
|
|
||||
|
|
|
|
2πr0 |
|
|
Вектор dBG всегда направлен перпендикулярно плоскости, в которой лежат dGl |
и r . Направ- |
|||||
ление тока – это направление, связанное правилом правого винта. |
|
|||||
[В] = 1Тл = 1 Н/А·м = 1 Дж/А·м2 |
|
|||||
Линии вектора B прямого тока – система охватывающих провод концентрических окружностей.
Пример 2
Магнитное поле на оси кругового тока, на расстоянии z от центра
Определить индукцию МП, создаваемого проводником с током, согнутым в кольцо радиуса R в т. А, лежащий на перпендикуляре к плоскости кольца, восстановленном из его центра
(см. рис. 28.3.).
Согласно закону Био-Савара-Лапласа:
dBG = |
μμοI [dl,rG] |
; |
|
|
|
4πr3 |
|
|
|
dB = |
μμ0 Idl r sin α |
. |
|
|
4πr2 |
|
|
||
|
|
|
|
|
Вектор dBG перпендикулярен плоскости, в которой лежат векто- |
|
|||
ры dl,rG и точка, в которой вычисляется поле. |
|
|||
Пусть т. А начало координат: dBG = dBx + dBz |
|
|||
В силу симметрии картины Bx = 0 |
Рис.28.3 |
|||
dBz = dB cosϕ |
|
|
|
|
dBz = μμοIdl r sin αcosϕ/ 4πr2 |
|
|||
α = π / 2 ; (dl rG) |
|
|
||
При перемещении элемента с током по кольцу |
|
|||
ϕ = const , α = (dl,rG)= π/ 2 , |
|
|||
cosϕ = R/r ; r2 |
= R2 + z2 , |
|
||
24