3) Магнетизм исчез бы, если скорость света оказалась бесконечно большой. Магнитное
взаимодействие между движущимися зарядами является релятивистским эффектом.
§35. Эффект Холла
Эффект Холла – это возникновение в металле (или п/п) с током плотностью j, помещенном в магнитное поле В, эл. поля в направлении, перпендикулярном В и j.
Поместим металлическую пластинку с током плотностью j , в МП BG . Примем j B .
Пусть j направлен слева направо. Тогда скорость отрицательных носителей заряда направлена
справа налево (в металле). На электроны действует магнитная составляющая силы Лоренца Fл
направлена вверх. У верхнего края металлической пластинки возникает повышенная концентрация электронов, он зарядится отрицательно, а у нижнего – недостаток электронов, он зарядится положительно. Между верхней и нижней гранями пластинки возникает дополнительное поперечное электрическое поле, направленное снизу вверх. Когда напряженность этого поперечного поля достигнет такой величины, что его действие на заряды будет уравновешивать силу Лоренца, то установится стационарное распределение зарядов в поперечном направлении.
Пусть EB – напряженность поперечного поля.
Fэлл = e EGB ; |
|
(35.1) |
F мл = qυGB = eυGB ; |
(35.2) |
|
Fэлл = F мл ; Fэлл = υB ;υ = j en = I |
S e n = I a d e n ; |
(35.3) |
EВ = I B a d e n ; EВ a = |
ϕ = I B d e n ; |
(35.4) |
EВ = ϕ a , |
|
(35.5) |
где а – высота пластины поперечная, ∆φ – (холловская) разность потенциалов |
|
|
ϕ a = υ B |
|
(35.6) |
j = enυ υ = j en = I enS ; S = a d ; |
(35.7) |
|
ϕ = a B I S e n = a B I a d e n = (1 e n) (I B d ) = Rx I B d |
(35.8) |
|
Rx = 1 e n , |
|
(35.9) |
где Rx – постоянная Холла, зависящая от вещества. |
|
|
Холловская поперечная разность потенциалов прямо пропорциональна магнитной ин-
дукции В, силе тока I и обратно пропорциональна толщине пластинки. По величине Rx можно:
1) определить концентрацию носителей при неизвестных заряде носителей и характере проводимости;
37
2) знак постоянной Холла совпадает со знаком носителей тока.
Эффект Холла применяют в аналоговых вычислительных машинах и датчиках Холла (в измерительной технике).
Рис. 35.1
§36. Дифференциальная форма записи основных законов магнитного поля
∫ adS = ∫ adV – теорема Остроградского-Гаусса. |
(36.1) |
|
S |
V |
|
∫adl = ∫ [ ,a] dS – теорема Стокса.
L S
Дивергенция поля B .
Магнитных зарядов в природе нет, линии B не имеют ни начала ни конца.
Тогда Φ B = ∫ BdS = 0
s |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Теорема Гаусса для поля BG |
в дифференциальной форме имеет вид: |
||||||||||||
B = 0 (дивергенция поля B всюду равна нулю), |
|||||||||||||
= |
∂ |
G |
|
∂ |
G |
∂ G |
∂ G |
∂ G |
∂ G |
||||
|
ex |
+ |
|
ey + |
|
ez = |
|
i + |
|
j + |
|
k . |
|
∂ x |
∂ y |
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
∂ z |
∂ x |
∂ y |
∂ z |
||||||
(36.1)
(36.3)
(36.4)
Это означает, как мы говорим, что МП не имеет магнитных зарядов. МП порождает не магнитные заряды, а электрические токи.
Этот закон фундаментальный, он справедлив не только для постоянных, но и для переменных полей.
Ротор поля B
Дифференциальная форма представления теоремы о циркуляции сти как инструмента исследования и расчета.
Рассмотрим отношение:
∫ BdL S , где S – площадь, ограниченная контуром.
L
B расширяет ее возможно-
(36.5)
38
При S → 0 limS→0 |
∫ BdL S = (rotB)nG |
( 36.6) |
|
L |
|
Этот предел зависит от ориентации контура в д.т. пространства. Ориентация контура задается вектором нормали nG к плоскости контура. Направление n связано с направлением обхода по контуру правилом правого винта.
Предел limS→0 |
∫ BGdLG S ведет себя как проекция некоторого вектора на направление нормали n |
|
L |
к плоскости контура, по которому берется циркуляция. Этот вектор называется ротором поля
BG . |
∫ BdL S = (rotB)nG |
|
limS →0 |
(36.7) |
|
(rotB)nG– проекция вектора rot BG |
L |
|
на n |
|
|
|
rotB = [, B] |
(36.8) |
В каждой точке векторного поля B имеется rot B , направление и модуль которого связаны
со свойствами самого rot |
BG , определяется тем направлением нормали nG площадки S, при кото- |
|||||
ром достигается максимальное значение rot |
B , являющееся одновременно модулем вектора |
|||||
rot BG . |
BG выражают в координатном представлении. Формально можно рассмат- |
|||||
В математике rot |
||||||
ривать rotB = × B и тогда |
|
|
|
|
||
ex |
ey |
ez |
|
|
|
|
× В = ∂ ∂x |
∂ ∂y |
∂ ∂z , где ex , еу , еz – орты осей декартовых координат. |
(36.9) |
|||
Bx |
By |
Bz |
|
|
|
|
|
|
[ , B] |
= μ |
|
G |
(36.10) |
|
|
n |
|
0 j n |
||
или |
|
|
|
|
Gj |
|
|
|
[, B] |
= μ 0 |
(36.11) |
||
Векторное поле, ротор которого всюду равен нулю, является потенциальным, а если не ра-
вен нулю, то соленоидальным. Значит электростатическое поле является потенциальным, а магнитное – соленоидальным.
По теореме о циркуляции:
∫ BdL = μ0 I rotB = [, B] |
(36.12) |
L |
|
тогда |
|
∫ BdL N = μ0 I n |
(36.13) |
L |
|
39
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
limS 0 ∫ BdL S = μ0 j |
|
|
|
|
|
|
|
|
(36.14) |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
→ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
или |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
[ , B]n = μ 0 j |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(36.15) |
|||
или |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
[ , B]n = μ 0 j n |
|
|
|
|
|
|
|
|
(36.16) |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
× |
|
|
= μ 0 |
|
|
|
|
divB = 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
В |
|
rotB |
|
= × B = μ 0 |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
j |
|
j |
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
; |
|
|
ρ |
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(36.17) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
× E = 0 |
divE = |
|
ε 0 |
|
rotE = × E = 0 |
|
|||||||||||||||||||
Ротор BG |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
совпадает по направлению с вектором j |
|
– плотностью тока в данной точке, а мо- |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
дуль [ , B] |
равен μ0 j . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
§37. Движение заряженных частиц в магнитном поле |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Если электрон влетает в МП так, что пусть E = 0, а МП однородно, то: |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
1) |
если υG || B , то FGмл = 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
2) |
если |
|
υG |
|
= 0 , то F мл = 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
3) |
если |
|
q |
|
= 0 , то Fмл = 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
4) |
|
|
|
G |
|
|
|
|
G |
|
|
|
|
|
|
|
F мл = qυB |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
если υ |
|
|
B , то α = 90° и |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
G |
|
|
|
|
|
G |
|
|
|
G |
G |
|
направлены как показано на рисунке (37.1). Сила Лоренца |
||||||||||||||||||||
Пусть B |
|
|
. Тогда υ |
и B и |
F |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
лм |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
является центростремительной силой и mυ 2 |
R = qυB . Тогда: |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
R = mυ qB – радиус окружности, траектория-окружность |
(37.1) |
|||||||||||||||||||||||||||||
Время, за которое частица в однородном МП сделает один полный оборот, называется пе-
риодом. |
|
T = 2πR υ = 2πmυ qBυ = 2πm qB |
(37.2) |
Период вращения частицы в однородном МП определяется только величиной, обратной удельному заряду частицы (m/q) и магнитной индукцией.
5) если ϑ заряженной частицы направлен под углом α к B , то частица движется по винто-
вой линии, ось которой параллельна B .
Движение частицы можно представить в виде суммы двух движений:
1– движение равномерное (υ ) по окружности, радиусом R ;
2– равномерное прямолинейное движение вдоль поля со скоростью υG .
40