12.2. Формы организации самостоятельной работы обучающихся (темы, выносимые для самостоятельного изучения; вопросы для самоконтроля; типовые задания для самопроверки

12.2.1 Темы, выносимые для самостоятельного изучения темы

1.Линейные (векторные) пространства. Линейная зависимость элементов. Базисы в линейных пространствах.

2.Нормированные пространства. Норма и ее свойства.

3.Векторные пространства с внутренним (скалярным) произведением. Свойства скалярного произведения.

4.Гильбертовы пространства.

5. Ортогональные системы элементов в гильбертовых пространствах. Базисы в гильбертовых пространствах. Разложение Фурье. Коэффициенты Фурье. Равенство Парсеваля. Применение разложения Фурье в квантовой механике. Полиномы Эрмита, Лежандра, Лягерра. Коэффициенты Фурье как амплитуды вероятности.

6.Пространство L² и его свойства. Теорема Фишера о полноте пространства L². Пространство L² в квантовой механике.

7.Линейные функционалы. Теорема Рисса-Фреше об ограниченном линейном функционале.

8.Обобщенные функции. Пространство основных функций. Сингулярные и регуляр- ные обобщенные функции. Действия над обобщенными функциями. Производная обобщенной функции.функция Дирака и ее свойства. Применения обобщенных функций.

9.Линейные операторы в гильбертовых пространствах. Непрерывные и ограниченные

операторы. Норма оператора.

10.Сопряженные операторы. Самосопряженные операторы.

11.Унитарные и проекционные операторы. Функции от операторов. Унитарная экспонента.

12.Линейные операторы в квантовой механике. Самосопряженнный лапласиан в Rⁿ.

13.Собственные значения и собственные функции эрмитова (самосопряженного) оператора. Обобщенные собственные значения и собственные функции. Спектр оператора. Резольвента.

Элементы спектральной теории самосопряженных операторов.

14.Операторы Шредингера.

15.Вероятность в квантовой механике. Полная система коммутирующих наблюдаемых.

Теорема Теплица.

12.2.2 Вопросы для самоконтроля

1.Дайте определение линейного (векторного) пространства.

2. Какие элементы векторного пространства называются линейно независимыми? 3. Дайте определение базиса линейного пространства.

4. Что такое норма элемента векторного пространства и каковы ее свойства.

5. Перечислите свойства скалярного произведения.

6. Дайте определение гильбертова пространства.

7.Как можно построить базис в гильбертовом пространстве? Разложение Фурье. Коэффициенты Фурье. Равенство Парсеваля. Применение разложения Фурье в квантовой механике. Коэффициенты Фурье как амплитуды вероятности.

6.Пространство L² и его свойства. Теорема Фишера о полноте пространства L². Пространство L² в квантовой механике.

7.Линейные функционалы. Теорема Рисса-Фреше об ограниченном линейном функционале.

8.Обобщенные функции. Пространство основных функций. Сингулярные и регуляр- ные обобщенные функции. Действия над обобщенными функциями. Производная обобщенной функции.функция Дирака и ее свойства. Применения обобщенных функций.

9.Линейные операторы в гильбертовых пространствах. Непрерывные и ограниченные

операторы. Норма оператора.

10.Сопряженные операторы. Самосопряженные операторы.

11.Унитарные и проекционные операторы. Функции от операторов. Унитарная экспонента.

12.Линейные операторы в квантовой механике. Самосопряженнный лапласиан в Rⁿ.

13.Собственные значения и собственные функции эрмитова (самосопряженного) оператора. Обобщенные собственные значения и собственные функции. Спектр оператора. Резольвента.

15. Элементы спектральной теории самосопряженных операторов.

16.Операторы Шредингера.

17.Вероятность в квантовой механике. Полная система коммутирующих наблюдаемых.

Теорема Теплица.