Т е м а 11. Релятивистское движение заряженных частиц в электромагнитном поле

11.1. Найти пробег релятивистской заряженной частицы с зарядом е, массой m и начальной энергией Е в тормозящем однородном электрическом поле , параллельном начальной скорости частицы.

11.2. Длинный прямой цилиндрический катод радиуса а, по которому течет равномерно распределенный ток I, испускает электроны с нулевой начальной скоростью. Эти электроны движутся под действием ускоряющего потенциала U к длинному коаксиальному аноду радиуса b. Каково должно быть минимальное значение разности потенциалов U_кр между катодом и анодом, чтобы электроны достигли анода, несмотря на затворяющее действие магнитного поля тока I?

11.3. По бесконечно длинному прямому цилиндрическому проводу радиуса а течет ток I. С поверхности провода срывается электрон, начальная скорость которого направлена вдоль провода. Найти наибольшее расстояние b, на которое электрон может удалиться от оси проводника.

11.4. Частица массой покоя m движется вдоль оси x инерциальной системы отсчета и притягивается к началу координат 0 с силой (производная от импульса по времени) . Частица начинает осциллировать с амплитудой а. Выразить период этого релятивистского осциллятора через определенный интеграл и вычислить приближенное значение этого интеграла.

11.5. Быстрый (ультрарелятивистский) электрон входит в конденсатор под углом . Вывести уравнение траектории электрона, если приложенная к пластинам разность потенциалов равна U, а расстояние между пластинами d.

Т е м а 12-13. Поляризация вещества. Диэлектрическая проницаемость

12.1. Вычислить поляризуемость для модели молекулы “металлический шарик”.

12.2. Вычислить поляризуемость для модели молекулы “пудинг с изюмом”.

12.3. Вычислить поляризуемость для планетарной модели Бора-Резерфорда.

12.4. Небольшая сфера радиусом а и поляризуемостью расположена на очень большом расстоянии от сферы радиусом b, изготовленной из проводящего материала, которая поддерживается при потенциале U. Найдите приближенное выражение для силы, действующей на сферу из диэлектрика, справедливое при условии а<<r, где r-расстояние между сферами.

12.5. Вывести соотношение Клаузиуса-Моссотти, связывающее диэлектрическую постоянную с поляризуемостью среды.

13.1. Плоский конденсатор состоит из 2-х параллельных слоев различных веществ. Первый слой толщиной d имеет диэлектрическую проницаемость и электропроводность, равную нулю; для другого слоя толщиной kd диэлектрическая проницаемость, а электропроводностьимеет конечное значение. Показать, что в отношении распространения монохроматических плоских волн этот конденсатор ведет себя так, как если бы все пространство между пластинами было заполнено однородной средой с диэлектрической проницаемостью.

13.2.* При расчете электрического поля, действующего на отдельную молекулу в диэлектрике, вокруг рассматриваемой молекулы строят сферу, радиус которой по сравнению с расстояниями между молекулами, при этом указанная сфера не должа пересекать ни одной молекулы. Тогда поле , действующее на молекулу, находящуюся в центре сферы, можно представить в виде суммы полей, где-электрическое поле внешних по отношению к диэлектрику источников,-поле, обусловленное связанными зарядами, появившимися в результате поляризации на внешней поверхности диэлектрика,-поле связанных зарядов, находящихся на внутренней поверхности диэлектрика,-поле всех молекул, находящихся внутри сферы. Полевпервые было вычислено Лоренцом (формула Лорентц-Лоренца), где-вектор поляризации.

Однако полость внутри диэлектрика не обязательно выбирать в виде сферы: ее можно, например, выбрать в виде куба с гранями, соответственно нормальными и параллельными вектору поляризации. В этом случае плотность связанных зарядов на верхней и нижней гранях куба постоянна и равна , в то время как на других гранях связанные заряды отсутствуют. Вычислить величину полядля кубической полости.

13.3. В некоторых случаях функцию , определяющую связь междуи:

можно представить в виде , гдеи-постоянные. Показать, что при этом

,

где -статическое значение диэлектрической проницаемости.

13.4. Исходя из условия причинности, согласно которому поляризация в среде может возникнуть только после начала действия электрического поля, доказать, что вещественная и мнимая части диэлектрической проницаемости

связаны между собой формулами:

(соотношения Крамерса-Кронига).

Символом обозначено главное значение интеграла.

Указание: рассмотреть поляризацию , возникающую в сфере под действием поля. Воспользоваться формулой

,

так что — дельта-функция Дирака. Символ Р представляет главное значение.

13.5. С помощью дисперсионных соотношений Крамерса-Кронига (см. задачу 13.4.) определить вещественную часть диэлектрической проницаемости по известной мнимой части:

,

где и-постоянные.

13.6. Доказать следующие правила сумм для мнимых частей диэлектрической проницаемости:

где -плазменная частота.

Указание: обратить внимание на то, что является четной, а-нечетной функциями отна вещественной оси, и воспользоваться асимптотическим выражением, справедливым привсюду в верхней полуплоскости.