- •Задачи по электродинамике
- •Т е м а 3. Электростатическое поле. Уравнение пуассона
- •Т е м а 4. Стационарное магнитное поле. Векторный потенциал. Закон био — савара — лапласа
- •Т е м а 5. Разложение эликтрического поля по мультиполям
- •Т е м а 6. Дифракция электромагнитных волн
- •Т е м а 7. Движение заряженных частиц. Излучение электромагнитных волн
- •Т е м а 8. Преобразование лоренца
- •Т е м а 9-10. Релятивистские электродинамика и механика
- •Т е м а 11. Релятивистское движение заряженных частиц в электромагнитном поле
- •Т е м а 12-13. Поляризация вещества. Диэлектрическая проницаемость
- •Т е м а 14-15. Плоские электромагнитные волны. Волновое уравнение. Поляризация. Отражение и преломление электромагнитных волн
- •Рекомендуемый библиографический список
Министерство общего и профессионального образования
Российской Федерации
СЫКТЫВКАРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ
Кафедра физики твердого тела
Задачи по электродинамике
Методические указания
к практическим занятиям
Сыктывкар 1999
Методические указания по курсу электродинамики рассчитаны на студентов-физиков с учетом существующих программ по электродинамике. Предложенные задачи требуют соответствующей математической подготовки. Большинство из них решаются простыми математическими методами. Несколько задач выделяется по своей сложности и их решение связано с трудоемкими вычислениями. Эти задачи отмечены звездочкой.
В методических указаниях используется гауссова система единиц, так как она наиболее часто употребляется в физической литературе.
Т е м а 1, 2. ВЕКТОРНЫЙ АНАЛИЗ В КУРСЕ ЭЛЕКТРОДИНАМИКИ
Разложение вектора по ортам,,декартовой системы координат имеет вид:
.
Некоторые сведения из векторного анализа:
1. Скалярное произведение двух векторов и:
,
, — угол междуи;
2. Векторное произведение двух векторов и:
,
,
где — угол междуи;
3. Смешанное произведение:
;
4. Двойное векторное произведение:
.
5. .
Дифференциальные операции:
1. Дифференцирование вектора, зависящего от скалярного аргумента
,
где — единичный вектор по направлению.
2. Полная производная от по времени t
,
где — векторный дифференциальный оператор.
3. Пусть , где u — скалярный аргумент, зависящий от координат:
,
.
Задания.
1.1. С помощью оператора , пользуясь правилами дифференцирования и перемножения векторов, доказать тождества:
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
1.2. Вычислить:
, ,
, .
1.3. Доказать тождества:
1.
2.
3.
4.
5.
6.
1.4. В некоторых случаях бывает удобно вместо декартовых компонент вектора аx, ay, az рассматривать его циклические компоненты, определяемые формулами:
, .
Выразить скалярные и векторные произведения двух векторов через их циклические компоненты.
1.5. Записать циклические компоненты градиента в сферических координатах (см. задачу 1.4.).
1.6. Найти функцию , удовлетворяющую условию:
.
1.7. Найти дивергенции и вихри следующих векторов:
1.
2.
3.
4.
5. ,
где и— постоянные векторы.
1.8. Вычислить
, ,,
, ,
где .
Т е м а 3. Электростатическое поле. Уравнение пуассона
3.1. Объемная плотность заряда полупространства имеет периодическую структуру, где постоянный векторобразует с осью z отличный от нуля угол. Найти потенциалэлектрического поля в каждой точке пространства.
Решение: Потенциал
(1)
является решением уравнений
, (где)
с дополнительными условиями
, (2)
, (3)
Последние два условия вытекают из того, что точечные и линейные заряды отсутствуют, а полный заряд равен нулю. Так как
,
задача допускает разделение переменных:
где последнее слагаемое потенциала является частным решением уравнения Пуассона. Функциии(i=1, 2) удовлетворяют одному и тому же уравнению:
,
в котором . Принимая во внимание условие (3), находим
.
Постоянные множители ai, bi (i=1, 2) определяются из граничных условий (2), так что
,
.
3.2. Вывести закон Ленгмюра для плоского вакуумного диода:
j=kU3/2,
где j — величина плотности тока, U — напряжение между анодом и катодом, k — коэффициент пропорциональности, зависящий от l — расстояния между катодом и анодом, e, m — заряда и массы электрона. Считать, что сила тока далека от насыщения. начальная скорость электронов равна нулю.
3.3. Определить потенциал и напряженностьэлектрического поля на оси тонкого диска радиуса R, равномерно заряженного с поверхностной плотностью. Убедиться, что на большом расстоянии от диска найденный потенциал совпадает с кулоновским, а при переходе через поверхность диска напряженность электрического поля удовлетворяет необходимому граничному условию:
.
3.4. Вычислить напряженность поля и потенциал, создаваемый длинным прямым проводником радиуса а, равномерно заряженным с плотностью заряда.
3.5. Бесконечная плоская плита толщиной а равномерно заряжена с плотностью . Найти потенциали напряженностьэлектрического поля внутри и вне плиты. Задачу решить двумя способами:
а) используя теорему Гаусса;
б) используя общее решение уравнения Пуассона.