Т е м а 4. Стационарное магнитное поле. Векторный потенциал. Закон био — савара — лапласа

4.1. Вычислить напряженность и векторный потенциал, создаваемый током I, проходящим по длинному прямому проводу радиуса a. Постоянный ток I распределен равномерно по поперечному сечению провода.

4.2. Определив векторный потенциал , вычислите напряженность магнитного поля на оси бесконечного тонкого кольца радиуса а, по которому течет ток I.

4.3. Внутри тонкой проводящей цилиндрической оболочки радиуса b находится коаксиальный с ней провод радиуса а. По этим проводникам текут постоянные токи одинаковой величины I в противоположных направлениях. Определить магнитное поле в разных точках пространства.

4.4. Прямолинейная, бесконечно длинная полоса имеет ширину а. Вдоль полосы течет ток I равномерно по ее ширине. Найти магнитное поле . Проверить результат, рассмотрев предельный случай поля на больших расстояниях.

4.5. Противоположно направленные токи равной величины I текут по двум тонким бесконечно длинным параллельным пластинам, совпадающим с двумя гранями бесконечной призмы прямоугольного сечения. Ширина пластин а, расстояние между ними b. Найти силу взаимодействия на единицу длины f.

4.6. Определить магнитное поле в цилиндрической полости, вырезанной в бесконечно длинном цилиндрическом проводнике. Радиусы полости и проводника соответственно а и b, расстояние между их параллельными осями d (b>a+d). Ток I распределен равномерно по сечению.

4.7. Найти векторный потенциал и магнитное поле, создаваемые двумя прямолинейными параллельными токами I, текущими в противоположных направлениях. Расстояние между токами 2а.

Т е м а 5. Разложение эликтрического поля по мультиполям

5.1. Покажите, что в электрическом поле электростатическая энергия диполя с дипольным моментомравна

.

5.2. Диполь находится в однородном поле с напряженностью . Если направление дипольного момента совпадает с напрвлением электрического поля, то существует эквипотенциальная поверхность, охватывающая диполь. Покажите, что такой поверхностью является сфера, и найдите величину дипольного момента, для которой сфера имеет радиус а.

5.3. Из условия задачи 5.2. определите электрическое поле вне этой сферы.

5.4. Из условия задачи 5.2. (см. также 5.3.) определите, как будут распределены заряды на проводящей сфере? Каким дипольным моментом будет обладать это распределение зарядов?

5.5. Выразить через -функцию распределение объемной плотностизаряда точечного диполя с моментом, находящегося в точке с радиус-вектором.

5.6. Дипольный потенциал электрического диполя связан с компонентами электрического поля:

причем направлен по оси z.

а) Найдите радиальную и тангенсальную составляющие напряженности электрического поля диполя в точке .

б) Покажите, что электрическое поле диполя направлено в одну и ту же сторону во всех точках прямой, проходящей через диполь (начало координат).

в) Найдите направление и относительные величины напряженности на некотором произвольном расстоянии от диполя в точках, определяемых угламиотсчитываемыми от направления вектора.

5.7. В каждой точке пространства задан электрический дипольный момент единицы объема. Векторная функцияубывает на бесконечности быстрее, чем 1/r². Доказать, что заданное распределение плотности дипольного момента создает каждой точке пространства такое же электрическое поле, как и заряд, распределенный с объемной плотностью

.

5.8. Сфера радиуса R заряжена по поверхности по закону

.

Найти потенциал электрического поля, используя разложение по мультиполям в сферических координатах.

5.9. Источники электрического поля расположены аксиально симметричным образом. Вблизи оси симметрии системы источники поля отсутствуют. Выразить потенциал и напряженностьэлектрического поля вблизи оси симметрии через значение потенциалаи его производных на этой оси.

5.10. Найти потенциал электрического поля на больших расстояниях от следующих систем зарядов: а) заряды q, -2q, q расположены на оси z на расстоянии a друг от друга (линейный квадруполь); б) зарядырасположены в вершинах квадрата со стороной a так, что соседние заряды имеют разные знаки, причем в начале координат находится заряд +q, а стороны квадрата параллельны осям x и y (плоский квадруполь).