- •Конспект лекций
- •2. Основные операции над матрицами
- •Тема 2 Определители и их свойства.
- •1. Определители и их свойства
- •2. Ранг матрицы
- •3. Обратная матрица
- •Тема 3. Элементы линейной алгебры в экономике
- •1. Линейная модель международной торговли
- •2. Модель Леонтьева многоотраслевой экономики
- •Тема 4 Системы линейных алгебраических уравнений
- •1. Системы линейных алгебраических уравнений. Теорема Кронекера Капелли
- •2. Применение определителей к исследованию и решению систем линейных уравнений. Формулы Крамера
- •1. Решение систем линейных алгебраических уравнений методом обратной матрицы
- •2. Решение систем линейных алгебраических уравнений методом Гаусса
- •Тема 5 Элементы векторной алгебры
- •1. Векторы. Координаты вектора
- •2. Линейные операции над векторами
- •3. Скалярное и векторное произведение векторов
- •Тема 6. Элементы высшей алгебры
- •Тема 7 Элементы аналитической геометрии
- •1. Уравнение линии на плоскости
- •2. Прямая линия на плоскости
- •3. Полярные координаты
- •1. Канонические уравнения эллипса, гиперболы, параболы
- •2. Преобразования декартовой системы координат на плоскости
Тема 6. Элементы высшей алгебры
Лекция 1.6.1. «Элементы высшей алгебры»
Учебные вопросы:
Комплексные числа
Действия над комплексными числами
Комплексные числа
Число называется мнимой единицей. Можно рассматривать мнимую единицу как формальный объект, который имеет следующее свойство:
Комплексные числа - это парадействительных чисел с заданными определенным образом операциями умножения и сложения. Комплексное числозаписывают как
Число называетсядействительной частью числа , а число—мнимой частью числа . Их обозначаютисоответственно:
Таким образом, комплексное число задается двумя действительными числами. Если интерпретировать эти числа как декартовы координаты, то получим естественное соответствие комплексных чисел и точек на плоскости.
Если в случае действительных чисел мы имели числовую прямую, то в случае комплексных чисел получаем числовую плоскость, которая называется комплексной плоскостью.
Пусть Тогда числоназываетсякомплексно-сопряженным или просто сопряженным к числу .
Модулем комплексного числа называется число- длина отрезкана комплексной плоскости.
Модуль комплексного числа есть неотрицательное действительное число. Модуль равен нулю тогда и только тогда, когда само число равно нулю.
Модуль произведения комплексных чисел равен произведению их модулей.
Аргумент комплексного числа - это угол между осьюOX и вектором OP, изображающим это комплексное число. Отсюда, tan =b / a .
Тригонометрическая форма комплексного числа. Абсциссу a и ординату b комплексного числа a + bi можно выразить через его модуль r и аргумент :
Действия над комплексными числами
Операции сложения и умножения комплексных чисел осуществляются так, как если бы мнимая единица была переменной (а комплексные числа — многочленами от этой переменной), при этом.
Сложение. Суммой комплексных чисел a+ bi и c+ di называется комплексное число ( a+ c ) + ( b+ d ) i. Таким образом, при сложении комплексных чисел отдельно складываются их абсциссы и ординаты.
Это определение соответствует правилам действий с обычными многочленами.
Вычитание. Разностью двух комплексных чисел a+ bi (уменьшаемое) и c+ di (вычитаемое) называется комплексное число ( a – c ) + ( b – d ) i.
Таким образом, при вычитании двух комплексных чисел отдельно вычитаются их абсциссы и ординаты.
Умножение. Произведением комплексных чисел a+ bi и c+ di называется комплексное число:
( ac – bd ) + ( ad + bc ) i . Это определение вытекает из двух требований:
1) числа a+ bi и c+ di должны перемножаться, как алгебраические двучлены,
2) число i обладает основным свойством: i 2 = –1.
Деление. Разделить комплексное число a+bi (делимое) на другое c+ di (делитель) - значит найти третье число e+fi (чатное), которое будучи умноженным на делитель c+ di, даёт в результате делимое a+ bi.
Если делитель не равен нулю, деление всегда возможно.
Примеры.
1. Записать комплексное число в тригонометрической и показательной формах.
Решение. Полагаем . Вычислим модуль комплексного числа.
На основе соотношения вычислим– аргумент комплексного числа. Теперь можно записать комплексное число в тригонометрической форме
, .
Используя формулу Эйлера, переходим к показательной форме комплексного числа:
,
2. Выполнить деление комплексных чисел .
Решение.
3. Вычислить .
Решение. Полагаем . Запишем данное комплексное число в тригонометрической форме (см. пример 1).
,
Далее применим формулу Муавра
4. Вычислить .
Решение. Полагаем . Запишем данное комплексное число в тригонометрической форме (см. пример 1).
,
Далее применим формулу
,
,
При имеем
При имеем
Таким образом, .