Тема 3. Элементы линейной алгебры в экономике

Лекция 1.3.1. «Элементы линейной алгебры в экономике»

Учебные вопросы:

1. Линейная модель международной торговли

2. Модель Леонтьева многоотраслевой экономики

1. Линейная модель международной торговли

Рассмотрим стран,, …,с национальными доходами (бюджетами), равными соответственно,, …,денежных единиц (ден. ед.). Введем переменные, выражающие величину части национального дохода (бюджета), которую тратит странана импорт товаров изой страны. Предполагая, что весь национальный доход каждой из участвующих стран используется для закупки товаров либо внутри страны, либо на импорт из других стран, получаем следующие балансовые соотношения:

. (6.1)

При выполнении этих условий торговля для каждой страны будет сбалансированной (бездефицитной).

Введем коэффициенты , показывающие, какая часть национального дохода (бюджета) страныиспользуется при товарообороте со страной. Опыт международной торговли показывает, чтоостаются почти постоянными в течение достаточно длительного периода времени. Следовательно, зависимость между введенными переменными можно считать линейной, т. е.

. (6.2)

С учетом этой связи балансовые соотношения (6.1) примут вид:

. (6.3)

Соотношения (6.3) есть экономико-математическая модель обмена или модель международной торговли. Она представляет собой однородную систему уравнений снеизвестными с матрицей системы

,

называемой структурной матрицей обмена (торговли).

Из экономического смысла коэффициентов следует, что они удовлетворяют соотношениям

.

Пример. Структурная матрица торговли трех стран имеет вид

.

Каковы должны быть национальные доходы (бюджеты) этих стран для сбалансированной торговли?

◄ Согласно (6.3) линейная модель торговли этих стран будет иметь вид:

или

Последнюю однородную систему решаем методом Гаусса. Записываем расширенную матрицу системы и проводим ее преобразования:

(1-ю строчку прибавляем ко 2-й и 3-й)

(умножаем 2-ю строчку на 2 и прибавляем к 3-й)

(убираем последнюю строчку и переносим 3-й столбец за знаки равенств (вертикальную черту))

(умножаем последнюю строчку на 2 и прибавляем к 1-й, затем умножаем обе строчки на (1))

Общее решение системы: (,) или (,,), где положительная величина, равная национальному доходу (бюджету) страны . ►

2. Модель Леонтьева многоотраслевой экономики

Макроэкономика функционирования многоотраслевой экономики требует баланса между отдельными отраслями. Каждая отрасль, с одной стороны является производителем, а с другой – потребителем продукции, выпускаемой другими отраслями.

Принципиальная схеме многоотраслевого баланса производства и распределении совокупного продукта в стоимостном выражении может быть построена следующим образом.

Будем предполагать, что производственная сфера хозяйства представляет собой n отраслей, каждая из которых производит свой однородный продукт. Для обеспечения производства каждая отрасль нуждается в продукции других отраслей (производственное потребление). Рассмотрим процесс производства за некоторый период (например, за год).

Обозначения:

общий объем продукции i отрасли (ее валовый выпуск);

объем продукции i отрасли, потребляемой j отраслью при производстве продукции объема .

объем продукции i отрасли, предназначенный для реализации (потребления) в непроизводственной сфере (продукт конечного потребления).

Часть объема продукции , произведеннаяi-ой отраслью используется для собственного производства в объеме , часть – поступает в остальные отрасли для потребления при производстве в объемах(), и некоторая часть объемом– для потребления в непроизводственной сфере, так называемый объем конечного потребления.

При балансе отраслевых связей валовой выпуск i-ой отрасли должен быть равен сумме объемов продукции, потребляемых в производственной и непроизводственной сферах, т. е.

_, . (6.4)

Уравнения (6.4) называются соотношениями (уравнениями) баланса.

Введем коэффициенты прямых затрат по формуле

, (6.5)

выражающие затраты продукции i-ой отрасли на производство единицы продукции j-ой отрасли.

Будем считать сложившиеся технологии производства во всех отраслях неизменными за рассматриваемый период времени и. следовательно, коэффициенты прямых затрат постоянными. Используя, уравнения баланса можно записать в виде

_, . (6.6)

Введя вектор валового выпуска X (режим работы отраслей), матрицу прямых затрат A и вектор конечного потребления Y: ,,,

уравнения баланса можно записать в матричной форме

. (6.7)

Уравнения (6.6) и (6.7) называются уравнениями межотраслевого баланса или линейной моделью Леонтьева (в честь американского ученого В. Леонтьева, который их впервые получил и подробно изучил в 1936 г.).

В модели Леонтьева можно выполнять три типа расчетов планирования производства:

1) зная (или задавая) объемы валовой продукции всех отраслей X можно определить объемы конечной продукции для всех отраслей (вектор конечного потребления)

; (6.8)

2) задавая величины конечной продукции всех отраслей Y можно определить величину валовой продукции каждой отрасли

; (6.9)

3) задавая для ряда отраслей величины валовой продукции, а для всех остальных отраслей – объемы конечной продукции, можно найти величины конечной продукции первых отраслей и объемы валовой продукции вторых.

Из экономического смысла параметров, входящих в уравнения (6.6), следует, что матрицы (векторы) X, Y и матрица А, которую называют еще технологической или структурной матрицей) должны быть положительными (т. е. должны быть положительны их элементы: ,,,.

Рассмотрим вопрос о разрешимости уравнения (6.8) и, следовательно, уравнения (6.7).

Если матрица невырожденная, т. е. ее определитель, то уравнение (6.8) имеет единственное решение (6.9), где обратная матрицаназываетсяматрицей полных материальных затрат. Каждый элемент этой матрицы выражает величину выпуска продукции i-ой отрасли, необходимого для производства единицы конечного продукта j-ой отрасли ,.

Рассмотрим условия (критерии) существования положительных решений матричного уравнения (6.7).

Матрица прямых затрат A с неотрицательными элементами ,называетсяпродуктивной матрицей, если существует такой вектор валового выпуска X > 0, для которого выполняется неравенство X > AX. Это неравенство означает, что существует хотя бы один режим работы отраслей данной экономической системы, при котором продукции выпускается больше, чем затрачивается на ее производство. Другими словами, при этом режиме создается конечный (прибавочный) продукт Y = X – AX > 0.

Модель Леонтьева с продуктивной матрицей A называется продуктивной моделью.

Теорема. Для того чтобы матрица А была продуктивной, необходимо и достаточно, чтобы элементы матрицы были неотрицательны.

Пример. В таблице приведены данные (в ден. ед.) об исполнении баланса между двумя отраслями за некоторый период времени:

Таблица

Отрасль	Внутрипроизводственное потребление		Валовой продукт	Конечный продукт
Энергетика	8	20	80	52
Машиностроение	12	16	100	72

Вычислить:

1. Величину конечного продукта, если валовой выпуск составил бы

;

Необходимый объем валового выпуска отраслей, если объем конечного потребления увеличить до уровня .

◄ Используя данные таблицы и формулу (6.5), получим матрицу прямых затрат , а затем матрицу полных затрат.

1. Вектор конечного продукта находим по формуле (6.8):

.

2. Вычисляем определитель . Так

как он оказался отличным от нуля делаем вывод, что матрица невырожденная и имеет обратную. Находим эту обратную матрицу:.

Все элементы полученной обратной матрицы оказались неотрицательными и, следовательно, в соответствие с приведенной выше теоремой матрица А продуктивна и решение уравнения (6.8) положительно при любых значениях конечного продукта, в частности, и при :

.

Таким образом, чтобы обеспечить конечный продукт в объеме , валовой выпуск в энергетической отрасли нужно увеличить до 157,0 ден. ед., а в машиностроительной до 206,6 ден. ед. На рисунке приведена схема баланса производства и распределения совокупного продукта для обеспечения такого конечного продукта. ►