- •Конспект лекций
- •2. Основные операции над матрицами
- •Тема 2 Определители и их свойства.
- •1. Определители и их свойства
- •2. Ранг матрицы
- •3. Обратная матрица
- •Тема 3. Элементы линейной алгебры в экономике
- •1. Линейная модель международной торговли
- •2. Модель Леонтьева многоотраслевой экономики
- •Тема 4 Системы линейных алгебраических уравнений
- •1. Системы линейных алгебраических уравнений. Теорема Кронекера Капелли
- •2. Применение определителей к исследованию и решению систем линейных уравнений. Формулы Крамера
- •1. Решение систем линейных алгебраических уравнений методом обратной матрицы
- •2. Решение систем линейных алгебраических уравнений методом Гаусса
- •Тема 5 Элементы векторной алгебры
- •1. Векторы. Координаты вектора
- •2. Линейные операции над векторами
- •3. Скалярное и векторное произведение векторов
- •Тема 6. Элементы высшей алгебры
- •Тема 7 Элементы аналитической геометрии
- •1. Уравнение линии на плоскости
- •2. Прямая линия на плоскости
- •3. Полярные координаты
- •1. Канонические уравнения эллипса, гиперболы, параболы
- •2. Преобразования декартовой системы координат на плоскости
2. Линейные операции над векторами
Сумма векторов есть вектор, соответствующий их геометрической сумме (правило параллелограмма) (рис. 4.10). Из рис. 4.10 видно, что если конец вектора совмещен (параллельным перемещением) с началом вектора, то векторбудетсоединять начало вектора с концом вектора.
Вычитание векторов есть сумма вектора с вектором (), который противоположен вектору:(рис. 4.11).
Если векторы изаданы своими координатами:,, то
=. (4.5)
Вектор можно представить в виде суммы трех его компонент по координатным осям (рис. 4.7):
(4.6)
Эта сумма называется разложением вектора по базисным векторам (базису). Отсюда следует, что координаты вектора – это коэффициенты в разложении (4.6) вектора по базисным векторам.
Произведение вектора на скаляр (число) есть вектор, который коллинеарен вектору, имеет длинуи направлен в ту же сторону, что и вектор , если, и в противоположную сторону, если. Если вектор задан своими координатами:, то
=. (4.7)
Сложение векторов и умножение их на скаляры удовлетворяют соотношениям (и– числа):
.
Пример. Найти координаты вектора , если,.
◄ По заданным разложениям векторов по базису находим их координаты: ,. Используя (4.5) и (4.7), получаем►
3. Скалярное и векторное произведение векторов
Скалярное произведение двух векторов (обозначают также) есть скаляр (число)
=, (4.8)
где – угол между векторамии(рис. 4.12).
Для острого угла между векторами иих скалярное произведение, а для тупого –. Если они взаимно перпендикулярны
(), то. Для коллинеарных векторовискалярное произведение=, где “+” для однонаправленных векторов, а “–“ ― для противоположно направленных. В частности=, что позволяет записать длину векторав виде=(отсюда другое название длины вектора – «модуль вектора»).
Единичные базисные векторы прямоугольной декартовой системы координат удовлетворяют соотношениям: ,,,. Используя эти соотношения, не трудно получить, что если векторыизаданы своими декартовыми координатами:,, то их скалярное произведение
=. (4.9)
Из определения скалярного произведения (4.8) следует, что угол между векторами
. (4.10)
Свойства скалярного произведения:
=;;
; ;
.
Пример. Вычислить , если,.
◄ Используя свойства скалярного произведения, имеем =
=.►
Пример. Даны координаты вершин треугольника на плоскости: ,,. Найти угол в треугольнике при вершинеи длину стороны.
◄ Проведем из вершины векторы в вершиныи(рис. 4.13). Тогда угол при вершинебудет равен углу между векторамии, а длина стороныравна длине вектора. Находим координаты векторов:,. Согласно формуле (.10)Длина стороны==. ►
Векторное произведение (другое обозначение ) двух векторовиесть третий вектор, модуль которого(т. е. равен площади параллелограмма, построенного на векторахи), а направление перпендикулярно к обоим векторами(т. е. плоскости упомянутого параллелограмма) и совпадает с направлением поступательного движения правого винта при его повороте откна угол, меньший(рис 4.14). Из этого определения векторного произведения следует, что векторы ,иобразуютправую систему.
Если векторы иколлинеарны (), то=0.
Свойства векторного произведения:
; ;;
; .
Базисные единичные векторы декартовой прямоугольной системы координат удовлетворяют следующим соотношениям:
; ;;.
Если векторы изаданы своими декартовыми координатами:,, то их векторное произведение
. (4.11)
Смешанным (векторно – скалярным) произведением векторов называется произведение , результатом которого является скаляр (число). Для компланарных векторов их смешанное произведение. Если векторы,иобразуют правую тройку, то, если – левую, то.
Смешанное произведение равно объему параллелепипеда, построенного на векторах,и(рис. 4.15), взятому со знаком “+”, если векторы ,иобразуют правую тройку, и со знаком “–“, если ― левую:
. (4.12)
Если векторы ,изаданы своими декартовыми координатами:,,, то их смешанное произведение
(4.13)
Пример. Даны координаты вершин треугольника: ,,. Найти площадь.
◄ Направим из вершины треугольника векторы в вершиныи(рис. 4.16). Учитывая, что площадь равна половине площади параллелограмма, построенного на этих векторах, площадь которого, в свою очередь, можно выразить через векторное произведение, будем иметь. Находим координаты векторов:,. По формуле (4.11) находим векторное произведение=.
Таким образом, (кв. ед.). ►
Пример. Найти объем параллелепипеда, построенного на векторах ,,.
◄ Искомый объем найдем по формуле (4.13). Вычисляем смешанное произведение данных векторов: =
. Объем параллелепипеда . ►