- •Конспект лекций
- •2. Основные операции над матрицами
- •Тема 2 Определители и их свойства.
- •1. Определители и их свойства
- •2. Ранг матрицы
- •3. Обратная матрица
- •Тема 3. Элементы линейной алгебры в экономике
- •1. Линейная модель международной торговли
- •2. Модель Леонтьева многоотраслевой экономики
- •Тема 4 Системы линейных алгебраических уравнений
- •1. Системы линейных алгебраических уравнений. Теорема Кронекера Капелли
- •2. Применение определителей к исследованию и решению систем линейных уравнений. Формулы Крамера
- •1. Решение систем линейных алгебраических уравнений методом обратной матрицы
- •2. Решение систем линейных алгебраических уравнений методом Гаусса
- •Тема 5 Элементы векторной алгебры
- •1. Векторы. Координаты вектора
- •2. Линейные операции над векторами
- •3. Скалярное и векторное произведение векторов
- •Тема 6. Элементы высшей алгебры
- •Тема 7 Элементы аналитической геометрии
- •1. Уравнение линии на плоскости
- •2. Прямая линия на плоскости
- •3. Полярные координаты
- •1. Канонические уравнения эллипса, гиперболы, параболы
- •2. Преобразования декартовой системы координат на плоскости
2. Ранг матрицы
Ранг данной матрицы есть такое число, что по крайней мере один определитель- го порядка, получаемый из этой матрицы при удалении некоторых строк и/или столбцов, отличен от нуля, а все определители- го порядка равны нулю.
Ранг матрицы равен наибольшему числу ее линейно независимых строк (или столбцов).
Для квадратной матрицы порядкаее рангудовлетворяет соотношению. Эта матрица является невырожденной в том и только в том случае, если ее ранг, т. е.. Если же, то матрица является вырожденной.
Ранг суммы двух матриц не больше суммы их рангов:
.
Пример. Найти ранг матрицы .
◄ Ранг этой квадратной матрицы порядка удовлетворяет соотношению. Единственный определитель 3-го порядка, получаемый из этой матрицы. Ранг данной матрицы, т. к. по крайней мере один определитель 2-го порядка, получаемый из этой матрицы при удалении 3-й строки и 3-го столбца,. ►
Пример. Найти ранг матрицы .
◄ Ранг этой матрицы , т. к. из данной матрицы можно получить определители порядка не выше 2-го. Легко убедиться, что все три определителя 2-го порядка, которые можно получить из этой матрицы удалением поочередно его столбцов, равны нулю. Отсюда следует, что ранг данной матрицы(каждый элемент матриц представляет собой определитель 1-го порядка). Уменьшение ранга этой матрицы по отношению к максимально возможномуобусловлено тем, что у нее строки и столбцы линейно зависимы (второй и третий столбец получаются из соответствующих элементов первого их умножением на 2 и 3, соответственно; вторая строка получается из первой, умножением ее элементов на 3). ►
В общем случае для вычисления ранга матрицы ее сначала приводят к более простому виду с помощью так называемых элементарных преобразований, к которым относятся:
перестановка строк матрицы;
умножение какой-либо строки на одно и то же отличное от нуля число;
прибавление к элементам строки соответствующих элементов другой строки, предварительно умноженных на некоторое число.
Можно показать, что элементарные преобразования не меняют ранга матрицы.
Если с помощью элементарных преобразований получить нули ниже главной диагонали матрицы, то ранг исходной матрицы будет равен числу ненулевых строк преобразованной матрицы.
Пример. С помощью элементарных преобразований вычислить ранг матрицы
.
◄ Умножим первую строку матрицы на –2 и прибавим ко второй строке:
~~.
Теперь умножим первую строку на –3 и сложим ее с третьей строкой, а затем вычтем из последней строки первую. Имеем
~~.
Умножая вторую строку получившейся матрицы на –2 и складывая ее с третьей строкой, а затем, складывая вторую строку с последней, получим матрицу
~.
Преобразованная матрица имеет две ненулевые строки, следовательно, ранг матрицы А равен двум: . ►
3. Обратная матрица
Квадратная матрица называетсяневырожденной, если она имеет (необходимо единственную) обратную матрицу , определяемую условиями
.
В противном случае матрица –вырожденная.
Квадратная матрица =() порядкаявляется невырожденной в том и только в том случае, если ее определитель; в этом случае обратная матрицаесть квадратная матрица того же порядка:
, (1.1.1)
где – алгебраические дополнения элементовв определителе.
Квадратная матрица не вырождена в том и только том случае, если ее строки (столбцы) линейно независимы. Строки (столбцы) матрицы линейно независимы, если ни одна строка (столбец) не могут быть выражены в виде линейной комбинации остальных строк (столбцов). В противном случае строки (столбцы) линейно зависимы.
Если матрицы ине вырождены и число, то
, ,.
Пример. Дана матрица . Найти обратную матрицу.
◄ Находим определитель матрицы . Т. к., делаем вывод, что матрица не вырождена и, следовательно, имеет обратную матрицу. Находим алгебраические дополнения для элементов матрицы:
, ,,
, ,,
, ,.
Следовательно, по формуле (1.1.1)
.
Проводим проверку полученного результата:
. Делаем вывод, что результат правильный. ►