3. Полярные координаты

Полярная система координат на плоскости задается точкой (полюс) и лучом (полярная ось) (рис. 1.26). С каждой точкой плоскости, на которой задана полярная система координат, можно связать определенную пару чисел,–полярные координаты (обозначение ). Полярный радиусесть длина отрезка, а полярный угол– радианная мера угла, отсчитанная в направлении, противоположном вращению часовой стрелки (рис. 5.10).

Угол определен с точностью до слагаемого, где– любое целое число. Для полюсавеличинане определена.

Если полюс и полярная ось совпадают соответственно с началом и осьюпрямоугольной системы координат, то при условии, что для измерения,ииспользованы равные единицы масштаба, декартовы и полярные координаты связаны следующими формулами преобразования:

(5.15)

Пример. Полярная система координат задана совместно с декартовой системой согласно рис. 5.11. Определить полярные координаты точки .

◄ По формулам (5.15) находим: ,,. Знакииуказывают на то, что точканаходится во втором квадранте, т. е.. Таким образом, полярные координаты точки. ►

Расстояние между точками плоскостии:

. (5.16)

Пример. Найти расстояние между точками и.

◄ Подставляя полярные координаты точек в формулу (5.16), получаем . ►

Если прямая в декартовой системе задана общим уравнением , то в полярных координатах это уравнение будет иметь вид:

.

Лекция 1.5.2. «Линии (кривые) второго порядка на плоскости»

Учебные вопросы:

1. Канонические уравнения эллипса, гиперболы, параболы

2. Преобразования декартовой системы координат на плоскости

1. Канонические уравнения эллипса, гиперболы, параболы

Кривые второго порядка определяются уравнениями второй степени относительно декартовых прямоугольных координат. Общее уравнение второй степени относительно иимеет вид:

. (5.17)

Для любого уравнения (5.17) три величины

, ,(5.18)

сохраняются при переносе и повороте осей координат (являются инвариантами). Эти инварианты определяют свойства кривой второго порядка, не зависящие от ее положения на плоскости.

Классификация кривых второго порядка, основанная на их инвариантах:

1. эллипс при ,;

2. окружность при ,,или,;

3. точка (эллипс, выродившийся в точку) при ,;

4. ни одной действительной точки при ,;

5. гипербола при ;

6. пара пересекающихся прямых (выродившаяся гипербола) при ,;

7. парабола при ;

8. пара параллельных прямых или одна прямая (пара совпавших прямых) или ни одной действительной точки при ,.

Таким образом, уравнение (5.17) может задавать эллипс (частный случай – окружность), гиперболу, параболу (невырожденные кривые второго порядка) или пустое множество точек, одну точку, одну прямую, пару прямых (вырожденные кривые).

Уравнение кривой второго порядка подходящим переносом начала отсчета и поворотом осей координат может быть приведено к каноническому (или стандартному) виду.

Эллипс – геометрическое место точек (ГМТ), сумма расстояний которых до двух данных точек и, называемыхфокусами, есть величина постоянная. Если оси прямоугольной системы координат направлены по осям симметрии эллипса (рис. 5.12), то его уравнение принимает следующий стандартный вид (каноническое уравнение эллипса):

, (5.19)

где – фиксированная сумма расстояний фокусовидо любой точки эллипса(см. рис. 5.12),– расстояние между фокусами (фокусное расстояние), . Отрезкии, отсекаемые эллипсом на его осях симметрии, есть длиныбольшой и малой осей эллипса, точки ,, и –вершины эллипса, точка – его центр. Величинаназываетсяэксцентриситетом эллипса, а –коэффициентом сжатия эллипса.

Эллипс, центр которого не совпадает с началом координат, но большая и малая оси которого параллельны соответственно осям координат и, задается общим уравнением (5.17), в котороми(иодного знака).

Если эксцентриситет (оба фокуса находятся в начале координат, т. е.и, следовательно,), имеем частный случай эллипса –окружность радиуса . Общее уравнение (5.17) призадает окружность, еслии.Общее уравнение окружности радиуса можно привести к виду:

,

где точка – центр окружности.

Пример. Записать каноническое уравнение эллипса, если сумма расстояний произвольной его точки до фокусов равна 10, а фокусное расстояние равно 8.

◄ По условиям ,. Находим. Подставляя найденные значенияив (5.19), получаем искомое каноническое уравнение эллипса:. ►

Гипербола – ГМТ, абсолютное значение разности расстояний которых до двух данных точек и, называемыхфокусами, есть величина постоянная. Если оси прямоугольной системы координат направлены по осям симметрии гиперболы (рис. 5.13), то ее уравнение принимает следующий стандартный вид (каноническое уравнение гиперболы):

, (5.20)

где – фиксированная абсолютная величина разности расстояний фокусовидо любой точки гиперболы(см. рис. 5.13),– расстояние между фокусами (фокусное расстояние), . Отрезок, отсекаемый левой и правой ветвями гиперболы на оси, есть длинадействительной оси гиперболы, равная , точки, – вершины гиперболы. Мнимой осью называется ось (ось ), перпендикулярная к действительной оси (ось). Две прямые, проходящие по диагоналям прямоугольника со сторонамиис центром в центре гиперболы (начале координат) (см. рис. 5.13), являютсяасимптотами гиперболы. С этими прямыми гипербола неограниченно сближается при неограниченном возрастании абсолютной величины координаты точки гиперболы. Уравнения асимптот гиперболыи. Вершины гиперболы касаются вертикальных противоположных сторон прямоугольника.

Гипербола, центр которой не совпадает с началом координат, но действительная и мнимая оси которой параллельны соответственно осям координат и, задается общим уравнением (5.17), в котороми(иразных знаков).

Уравнение задает на плоскости гиперболу,сопряженную к гиперболе, уравнение которой имеет вид (5.20). На рис. 5.14 представлены такие сопряженные гиперболы.

Пример. Гипербола задана каноническим уравнением . Найти ее фокусное расстояние и расстояние между вершинами (длину действительной оси).

◄ Из уравнения имеем ,. Для гиперболы, отсюда для фокусного расстояния будем иметь. Расстояние между вершинами гиперболы равно. ►

Гипербола – ГМТ, равноудаленных от данной точки плоскости , называемойфокусом, и данной прямой , называемойдиректрисой

(,см. рис. 5.15). В системе координат, центр которой совмещен с вершиной параболы, а ось направлена по оси параболы (рис. 5.15), ее уравнение принимает следующий стандартный вид (каноническое уравнение параболы):

, (5.21)

где – параметр параболы.

Парабола, вершина которой не совпадает с началом координат, но ось которой параллельна оси координат , задается общим уравнением (5.17), в котороми либолибо.

Пример. Парабола задана уравнением . Найти параметр параболы.

◄ Заменой данное уравнение приводится к каноническому виду, отсюда имеем. Замена соответствует преобразованию исходной системы координат. Рис. 5.15 позволяет легко понять, что в исходной системе, в которой уравнение имеет вид, ветви параболы направлены вверх (по оси), ее фокус находится на осина расстоянииот начала координат, директриса параллельна оси, находясь от нее также на расстоянии►