Институт экономики, управления и права (г. Казань)

Кафедра высшей математики

Конспект лекций

ПО КУРСУ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ

Направление подготовки

080100.62 «Экономика»

Квалификация (степень) выпускника

Бакалавр

Набережные Челны  2013

Тема 1 Матрицы и операции над ними

Лекция 1.1.1 «Матрицы и операции над ними»

Учебные вопросы:

1. Матрицы, виды матриц

2. Основные операции над матрицами

1. Матрицы, виды матриц

Таблицу

называют (прямоугольной) матрицей размера . Элементы называютсяэлементами матрицы; элемент расположен в-йстроке и в -мстолбце матрицы; есть число строк, а–число столбцов.

_Пример. Матрица имеет размер, 2 строки и 3 столбца.

Если в матрице число строк равняется числу столбцов (матрица размера), то матрицу называют квадратной матрицей порядка . Квадратная матрица =() называется:

симметричной относительно главной диагонали, если =;

диагональной, если =0 при(все элементы, не стоящие на главной диагонали, равны нулю);

треугольной (наддиагональной), если =0 при(все элементы, стоящие ниже главной диагонали, равны нулю);

строго треугольной, если =0 при(все элементы, стоящие на главной диагонали и ниже ее, равны нулю).

Пример. Матрица  квадратная 3-го порядка; матрица

симметричная относительно главной диагонали; матрица  диагональная; матрица  треугольная (наддиагональная); матрица  строго треугольная.

Единичной матрицей называется диагональная матрица с единичными диагональными элементами:

, где

Пример. Матрица  единичная матрица 2-го порядка.

Матрица размера

называется столбцом, а матрица размера

– строчкой.

Нулевой матрицей размераназывается матрица этого размера, все элементы которой равны нулю.

Пример. Матрица  нулевая матрица размера .

Матрицей, транспонированной по отношению к матрице =() размера, называется матрица=() размера(столбцы матрицыявляются строками матрицыс теми же номерами).

Пример. Пусть . Транспонированной матрицейбудет

.

2. Основные операции над матрицами

Две матрицы =() и=()равны друг другу, если они одинакового размера и их соответствующие элементы равны, т. е.

,

если

=

для всех и.

Сумма двух матриц =() и=() размераесть матрица=() размера, у которой элементы являются суммой соответствующих элементов матриц слагаемых, т. е.

,

если

=+

для всех и.

Произведение матрицы =() размерана число есть матрицаразмера, у которой элементы равны соответствующим элементам матрицы, умноженным на:

=()=().

Пример. Даны матрицы и. Найти матрицу.

◄ ===

==. ►

Вычитание матриц можно выполнять либо вычитанием соответствующих элементов матриц, либо, как в приведенном примере, через прибавлениепротивоположной матрицы –(–):

=.

Произведение матрицы =() размерана матрицу =()размера есть матрица=() размера

()()(),

где

=.

Таким образом, элемент матрицыесть сумма произведений элементов-й строки матрицына соответствующие элементы-го столбца матрицы. В каждом произведении матрицформа матриц идолжна быть согласованной: число столбцов матрицыдолжно равняться числу строк матрицы. Из существования произведениявовсене следует существование произведения .Если существуют оба произведенияи(это, в частности, будет всегда, еслии– квадратные матрицы одного порядка), то, вообще говоря,.

Пример. Даны матрицы и. Найти.

◄ ==

==. ►

Для операций над матрицами справедливы следующие соотношения

(,– числа,,,– матрицы,– единичная матрица):

, ,

, ,

, ,

, ,

(– квадратная матрица).