Визуализация радиальных базисных функций

Радиальные базисные функции (Radial basis functions - RBF) -это целый ряд жестких методов интерполяции; то есть, поверх­ность, построенная с использованием этих функций, будет про­ходить через все опорные точки.

Каждая радиальная функция имеет различную форму и результаты для различных поверхностей интерполяции. Методы RBF - форма искусственных нейрон­ных сетей.

Методы RBF концептуально похожи на метод "резинового лис­та", когда лист проходит через все опорные точки, и при этом минимизируется общая кривизна поверхности.

Выбранная ба­зисная функция определяет, как резиновый лист пройдет через опорные точки. На рисунке 14 наглядно показано, как поверхность, построенная с использованием радиальной базис­ной функции RBF, проходит через опорные точки с высотами. На профиле обратите внимание, что поверхность проходит че­рез значения опорных точек

Рисунок 14 – Визуализация методом радиальных базовых функций

Радиальные базисные функции позволяют строить поверхности, учитывающие глобальный тренд наряду с локальными вариация­ми. Это помогает в тех случаях, когда подбор плоскости для значе­ний в опорных точках не дает точного описания поверхности.

Чтобы построить поверхность, допустим, что у вас есть возмож­ность изогнуть и растянуть интерполируемую поверхность таким образом, чтобы она прошла через все опорные точки.

Существует много способов для определения формы поверхности в проме­жутках между опорными точками. Например, вы можете заста­вить поверхность образовывать изящные изгибы (плоский сплайн), или вы можете контролировать, насколько крепко вы тяните за края поверхности (сплайн с натяжением). Существует пять различных видов функций:

- плоский сплайн,

- сплайн с натяжением,

- полно­стью регуляризованный сплайн,

- функция мультиквадратиков

- обратный мультиквадратик.

Это концеп­туальная основа интерполяции, основанная на радиальных ба­зисных функциях.

Модуль Geostatistical Analyst в качестве глобального интерполятора использует метод глобального полинома, а в качестве локального - методы взвешенных расстояний, локальных полиномов и радиальных базисных функций.

Поверхность, построенная с использованием детерминистских методов, может, как проходить, так и не проходить через опорные точки.

Метод интерпо­ляции, который дает в опорной точке значение, равное измеренному, носит название жесткого интерполятора.

Нежесткий интерполятор в опорной точке дает значение, отличное от измеренного (то есть, аппроксимирует значение в опорной точке) и позволяет избежать острых пиков или впадин на результирующей поверхности.

Метод взвешенных расстояний и радиальные базисные функции являются жесткими интерполяторами, в то время как глобальные и локальные полиномы - нежесткими интерполяторами.

Метод взвешенных (обратных) расстояний

Интерполяция по методу взвешенных расстояний (IDW) ис­пользует предположение, что объекты, расположенные ближе к другу в большей степени похожи, чем удаленные друг от друга. Чтобы найти значение в какой-либо точке, метод IDW использу­ет опорные точки, находящиеся в окрестностях искомой.

Если выборки с высотами относительно равномерно распределены, и характеристики поверхности не меняют­ся в различных частях ландшафта, вы можете с достаточной точ­ностью интерполировать значения поверхности на основе значе­ний в близлежащих точках. Чтобы учесть различную удаленность точек от искомой точки, значениям опорных точек, расположен­ных ближе к ней, присваивается больший вес.

Это основа метода интерполяции, известного как Метод (обрат­ных) взвешенных расстояний -Inverse Distance Weighting (IDW). Как следует из названия, вес значения уменьшается по мере уве­личения расстояния от искомой точки.

Эти опорные точки будут оказывать большее влияние на интерполи­руемое значение, чем те, которые от нее удалены на значитель­ное расстояние. Таким образом, метод IDW предполагает, что каждая опорная точка оказывает локальное влияние, которое уменьшается с расстоянием. Точкам, находящимся в окрестно­стях искомой, присваиваются весовые значения большие, чем удаленным от нее точкам. Отсюда и вытекает название метода: метод (обратных) взвешенных расстояний.

Где - искомое значение для точкиS₀ ;

λ_i - веса, присвоенные каждой опорной точке, из числа тех, ко­торые будут использованы в вычислениях. Эти веса уменьша­ются с расстоянием;

Z(s_i) - измеренное значение в точке s_i ;

N - число опорных точек, находящихся в окрестности искомой точки и используемых в вычислениях.

Веса определяются по следующей формуле:

где: d_io - это расстояние между искомой точкой s_o, и i-той опорной точкой, s_i.

С увеличением расстояния вес уменьшается за счет коэффици­ента р.

Параметр степени р влияет на присвоение весов опорным точ­кам; это означает, что по мере того, как увеличивается расстоя­ние между опорными точками и искомой точкой, влияние (или вес), которое опорная точка будет оказывать на искомую точку, уменьшается по экспоненте.

Сумма весов опорных точек, которые будут использованы при выполнении интерполяции, должна быть равна 1.

Оптимальное значение р определяется путем минимизации сред­неквадратичной ошибки вычислений (RMSPE). Значение сред­неквадратичной ошибки является статистической величиной и рассчитывается при перекрестной проверке. При перекрестной проверке каждая опорная точка исключается из вычислений и сравнивается с проинтерполированным значением для этого местоположения.

Среднеквадра­тичная ошибка RMSPE - это суммарная статистическая величи­на, количественно определяющая ошибку интерполируемой по­верхности.

Модуль Geostatistical Analyst подставляет несколько вариантов значения степени в формулу метода взвешенных рас­стояний (IDW), чтобы определить, при каком значении степени среднеквадратичная ошибка минимальна.

На графике (рис. 15 ) внизу показано, как модуль Geostatistical Analyst вычисляет оптималь­ную степень. Значение RMSPE наносится на график относи­тельно различных степеней, использованных для одного и того же набора данных. Через точки проводится кривая (описывае­мая локальным полиномом второй степени), и по этой кривой определяется оптимальное значение степени, при котором сред­неквадратичная ошибка минимальна.

Рисунок 15 - Вычисление оптимальной степени

Веса обратно пропорциональны расстоянию, возведенному в сте­пень р. В результате, по мере увеличения расстояния, веса бы­стро уменьшаются. Насколько быстро это происходит, зависит от значения р. Если р=0, с увеличением расстояния веса не уменьшаются, и поскольку каждый вес λ_i будет иметь одно и то же значение 1, искомый результат будет представлять собой сред­нее из всех значений опорных точек.

По мере возрастания сте­пени р, веса для удаленных точек быстро уменьшаются, что вид­но на диаграмме (рис.16 ), приведенной внизу.

Если значение р очень ве­лико, то только точки, находящиеся в непосредственной близости от искомой, будут влиять на полученное значение.

В модуле Geostatistical Analyst используются функции со степе­нью выше 1. При значении р = 2 метод носит название интерпо­ляции по методу квадратичных взвешенных расстояний (inverse distance squared weighted).

Рисунок 16 - Изменение веса в зависимости от расстояния [GA]

Поиск соседей

Поскольку объекты, расположенные ближе друг к другу более похожи, чем удаленные друг от друга, при удалении точек зна­чения опорных точек будут иметь все меньшую взаимосвязь со значением искомой точки.

Чтобы ускорить процесс вычисле­ния, мы можем принять вес значительно удаленных точек, с небольшим влиянием на искомую точку, за ноль. В результате, обычно ограничивают количество опорных точек, которые бу­дут использованы при расчете искомого значения, путем опре­деления области поиска соседства.

Заданная форма, в пределах которой выбираются соседние точки, ограничивает дальность и направление поиска опорных точек, которые будут использова­ны при выполнении интерполяции. На рисунке 17 по­казано, какие пять опорных точек (соседей) будут участвовать при вычислении значения искомой точки, обозначенной жел­тым цветом.

Рисунок 17– Выбор точек, для участия в вычислениях

Форма области соседства зависит от исходных данных и поверх­ности, которую вы хотите построить. Если определение весов не зависит от влияния по направлениям, мы должны учитывать точки равномерно во всех направлениях.

Для этого область со­седства должна иметь форму круга. Однако, если для ваших дан­ных характерно влияние по направлениям, такое, как, напри­мер, преобладающий ветер, вы можете использовать для опре­деления области соседства эллипс, большая ось которого направ­лена параллельно ветру.

Регулирование области поиска соседей для такого направленного влияния обоснованно, поскольку вы знаете, что точки, расположенные в направлении по ветру, даже удаленные друг от друга, будут больше похожи, чем точки, рас­положенные перпендикулярно к преобладающему направлению ветра.

После того, как определена форма области поиска соседей, вы можете также ограничить, какие точки, попадающие в эту об­ласть, должны быть использованы. Вы можете определить мак­симальное и минимальное количество используемых точек, а также вы можете разделить область поиска соседей на сектора. Если вы разделите эту область на сектора, ограничения по мак­симальному и минимальному количеству точек будут примене­ны к каждому сектору. Существуют различные способы деления на сектора (см. рисунок 18).

Рисунок 18– Выбор формы области поиска соседей

Точки, выделенные в виде данных диалога Поиск соседей, пока­зывают опорные точки с весами, которые будут использованы для поиска значения искомой точки в центре эллипса. Соседи попадают в показанный эллипс. В данном примере, двум точкам (красным) в западном секторе и одной в южном секторе будут присвоены веса более 10 процентов. Вес точки (желтой), распо­ложенной в северном секторе, будет от 3 до 5 процентов.

Поверхность, построенная по методу взвешенных расстояний (IDW), зависит от выбора степени (р) и способа поиска соседей. Метод взвешенных расстояний - это жесткий интерполятор, при котором максимальные и минимальные значения на проинтерполированной поверхности (см. рисунок 19) могут иметь только опорные точки. Результирующая поверхность чувствительна к кластеризации и присутствию в данных экстремальных значе­ний. Метод взвешенных расстояний предполагает, что поверх­ность была получена с использованием локальной вариации, ко­торая может быть учтена с помощью определения области поис­ка соседей.

Рисунок 19– Поверхность, полученная по методу взвешенных расстояний

Фактически большинство интерполяционных методов используют формулу (2.1) для расчета значений функций в произвольных точках. Различаются принципы, используемые для за­дания весовых коэффициентов w_i и, соответственно, выражения для них расчета.

В методе обратных расстояний использу­ется обратно пропорциональная зависимость весовых коэффици­ентов от некоторой степени расстояния между расчетной точкой и точкой наблюдения (d_i):

, (2.4)

здесь p - число, обычно принимаемое 1, 2 или 3.

Такой подход имеет вполне очевидный смысл - более удаленные точки в меньшей степени определяют значение в расчет­ной точке и наоборот.