Визуализация интерполяции по методу глобального полинома

Есть и другие решения для интерполяции значений в точках, в которых не проводились измерения. Одно из предполагаемых мест для парка - пологий склон горы.

Поверхность горы - наклонная плоскость, рисунок 8. Однако, опорные точки расположены в небольших понижениях или на небольших возвышенностях (локальная ва­риация).

Рисунок 8 – Визуализация методом глобального полинома первого порядка

Использование ближайших соседних опорных точек для интерполирования значений может исказить искомое значение в сторону занижения или завышения значений из-за влияния та­ких понижений и возвышений. В дальнейшем, вы научитесь учи­тывать локальную вариацию, вычитая из поверхности тренд (для данной территории трендом является наклонная плоскость). Спо­собность определить и смоделировать локальные структуры и трен­ды может увеличить точность создаваемой поверхности.

Чтобы взять за основу вашей интерполяции поверхность тренда для всей территории, вы можете подобрать плоскость, которая будет проходить через опорные точки.

Плоскость может быть определена математической формулой, которая является част­ным случаем семейства математических формул, известных как полиномы (многочлены). Затем вы сможете определить неизве­стное значение высоты в интерполируемой точке по значению соответствующей точки на плоскости. Плоскость может прохо­дить выше или ниже определенных точек.

Цель интерполяции - минимизировать ошибку. Вы можете измерить ошибку путем вычитания значения каждой опорной точки из ее проинтерполированного значения на плоскости, нахождения квадрата этой ве­личины, и последующего суммирования результатов. Такой метод носит название подбора по методу наименьших квадратов.

Этот процесс составляет теоретическую основу для интерполяции по методу глобального полинома.

Интерполяция по методу глобального полинома подбирает сгла­женную поверхность, построенную по опорным точкам с помо­щью математической функции (полинома). Поверхность, пост­роенная по методу глобального полинома, меняется постепенно и грубо передает общий характер данных.

Поверхность, построенную с помощью интерполяции по методу глобального полинома, можно представить как лист бумаги, раз­мещенный так, чтобы он прошел через точки, поднятые до зна­чения высоты. На рисунке 8 это проиллюстрировано для набора опорных точек, отобранных на пологом склоне (лист бу­маги показан лиловым цветом).

Но что если вы захотите описать плоскость, которая соответство­вала бы долине? Получить достоверную поверхность, использовав для ее описания плоскость, было бы довольно сложно.

Плоский лист бумаги не может точно описать ландшафт, в котором есть долина. Однако, если вы один раз перегнете кусок бумаги, вы сможете гораздо лучше подогнать его под форму по­верхности, то есть, получить более близкие значения для большего количе­ства значений).

Возможность описания одного перегиба поверх­ности - основа интерполяции по методу глобального полинома вто­рого порядка. Два перегиба плоскости могут быть описаны поли­номом третьего порядка, и так далее. Перегибы могут быть рас­положены в двух направлениях, и тогда можно будет описать по­верхность "в форме чаши".

Добавление определенного выражения в математи­ческую формулу дает аналогичный результат - перегиб плоско­сти. Ровная плоскость (на листе бумаги нет перегибов) может быть описана полиномом первой степени (линейной функци­ей).

Один перегиб плоскости будет соответствовать полиному второго порядка (квадратичная функция), два перегиба - по­линому третьего порядка (кубическая функция), и так далее, вплоть до 10, максимально возможной для модуля Geostatistical Analyst степени полинома. На рисунке 9 показано, как можно описать долину с помощью полинома второго порядка.

Рисунок 9 – Визуализация методом глобального полинома второго порядка

Лист бумаги редко будет проходить непосредственно через опор­ные точки, что делает метод интерполяции по методу глобально­го полинома нежестким интерполятором (метод глобального полинома аппроксимирует значения в опорных точках).

Неко­торые точки будут расположены над листом бумаги, некоторые - ниже. Однако, если вы сложите значения превышений значе­ний опорных точек над плоскостью и недобора значений опор­ных точек до значений на плоскости, эти две суммы должны быть равны.

Поверхность, показанная лиловым цветом, полу­чена при подборе плоскости по методу наименьших квадратов. Результирующая поверхность минимизирует сумму квадратов разности между действительными значениями опорных точек и их значениями на плоскости.

Когда использовать интерполяцию по методу глобального полинома

Результатом интерполяции по методу глобального полинома яв­ляется сглаженная математическая поверхность, которая отра­жает постепенные тренды в поверхности изучаемой террито­рии.

Глобальная интерполяция используется для:

1. Подбора поверхности для опорных точек в том случае, если поверхность медленно меняется от участка к участку на изу­чаемой территории (например, загрязнение над промыш­ленными территориями).

2. Изучения и/или удаления эффектов длительных или глобаль­ных трендов. В таком случае метод часто называют методом анализа тренда поверхности.

Интерполяция по методу глобального полинома строит медлен­но изменяющиеся поверхности с использованием полиномов маленьких степеней, которые могут описывать некоторые фи­зические процессы (например, загрязнение и направление вет­ра).

Следует заметить, однако, что чем сложнее полином, тем труднее связать с ним некий физический процесс. Кроме того, вычисленные поверхности очень чувствительны к экстремаль­ным значениям (очень низким или очень высоким, особенно по краям изучаемой территории).