Рамы на двух шарнирных опорах

Рассмотрим раму той же конфигурации, размеров и с теми же нагрузками, что и в предыдущем примере, но с шарнирным опиранием (Рис.4.2,а).

Здесь также имеем 8 характерных сечений, но для построения эпюр необходимо вычислить сначала опорные реакции, т.к. ни для одного из сечений нельзя выбрать отсеченную часть так, чтобы избежать попадания в нее опоры с неизвестной реакцией.

Для определения опорных реакций в плоских шарнирных рамах используются следующие уравнения равновесия:

Первое уравнение равновесия используется в том из двух приведенных вариантов, который будет содержать одну неизвестную опорную реакцию.

Так, в рассматриваемом примере этим условием будет , которое будет содержать неизвестную реакцию(в то время как условиесодержало бы две неизвестных реакции). Если бы опоры располагались так, что вертикальным является один стержень, то в качестве первого шага использовалось условие.

Рис.4. 2

Второе и третье уравнения равновесия () - такие же, как и для балок, но в одно из них обязательно войдет реакция, вычисленная из первого уравнения ( иногда - с нулевым плечом).

В качестве проверки вычисленных реакций используется условие, противоположное первому, то есть .

Построение эпюр в шарнирных рамах выполняется так же, как и в защемленных, но " с меньшими затратами", так как после вычисления реакций опор направление обхода рамы не играет роли, и выбор отсеченной части в каждом случае определяется ее простотой.

Вычислим реакции опор рамы (Рис.4.2,а)

Уравнения статики:

Знак "-", полученный при вычислении реакции , говорит, что принятое для нее направление нужно изменить на противоположное.

Выполним проверку:

,

то есть реакции опор вычислены правильно.

Построение эпюры .

Двигаясь по оси рамы от сечения 1 к сечению 6, получим:

Для сечений 7 и 8 проще рассматривать отсеченную часть, продвигаясь от опоры А к сечению 7:

Этот же результат получим из рассмотрения отсеченной части 1-6:

Этот же результат получим из рассмотрения отсеченной части 1-6:

По вычисленным значениям строим эпюру ( Рис.4.2,б)

Построение эпюры .

Из рассмотрения отсеченной части 1-5:

Из рассмотрения отсеченной части 8-6:

Эпюра , построенная по вычисленным значениям, показана на Рис.4.2,в.

Построение эпюры .

Из рассмотрения отсеченной части 1-5:

(сжаты правые волокна стойки);

(плечо силы F равно нулю);

(сжаты левые волокна стойки в сечении 4 и нижние волокна ригеля в сечении 5);

Из рассмотрения отсеченной части 8 -6:

(сжаты правые волокна стойки и нижние волокна ригеля в сечениях 7 и 6 соответственно).

Эпюра показана на рис2,г.

Пример. Рассмотрим шарнирную раму более сложной конфигурации (Рис.4.3,а).

Здесь необходимо рассматривать 10 характерных сечений для построения эпюр . Сечения 1-6 расположены на ригеле слева направо, а сечения 7-10 - на стойке сверху вниз. Как и в предыдущем примере, указанное расположение характерных сечений является безусловно необходимым, а их нумерация - произвольной.

Уравнения статики для вычисления опорных реакций имеют вид:

При построении эпюр целесообразно выбирать отсеченную часть, продвигаясь к центральному узлу рамы с четырех сторон, т.к. в этом случае определение внутренних силовых факторов в каждом из характерных сечений осуществляется наиболее просто.

Рис.4. 3

Построение эпюр .

Из рассмотрения левой относительно центрального узла отсеченной части (сечения 1-2):

(сжаты верхние волокна).

Из рассмотрения правой отсеченной части (сечения 3-6):

Из рассмотрения верхней относительно центрального узла отсеченной

Из рассмотрения нижней отсеченной части (сечения 9-10):

Характер эпюры на участках рамы с распределенными нагрузкамии, а именно, наличие пересечений эпюры с осью рамы, говорит о том, что в этих точках моментпринимает экстремальные значения

Вычислим экстремальные значения момента .

На участках под распределенной нагрузкой :

(сжаты верхние волокна).

На участке с распределенной нагрузкой :

(сжаты правые волокна).

Эпюры показаны на Рис.4.3,б,в,г.

Основная литература 1 [стр. 76-95], 2[стр.39-58]

Контрольные вопросы:

1. Какая конструкция называется статически определимой рамой.

2. В чем различие между стойкой и ригелем.

3. Какие внутренние силовые факторы действуют в раме.

4. Правило знаков для внутренних силовых факторов.

5. В каких рамах не надо определять опорные реакции перед построением эпюр.

6. Какие характерные точки в раме используются для построения эпюр в раме.

Тема лекции 5. Плоские фермы

Фермой называется стержневая система, остающаяся геометрически неизменяемой после условной замены ее жестких узлов шарнирными.

Фермы имеют назначение, по существу, такое же, как и балки сплошного сечения, но применяются для перекрытия значительных пролетов, когда проектирование сплошных балок (например, двутавровых) становится экономически невыгодным вследствие неполного использования материала стенки, напряжения в которой меньше, чем в полках (см. эпюру нормальных напряжений в поперечных сечениях балки на Рис.5. 1), и необходимости

Рис.5. 1

утолщения вертикальной стенки в связи с возможностью ее выпучивания (при значительной высоте стенки). В таких случаях сплошную балку заменяют стержневой системой - фермой, элементы которой (стержни) при действии сосредоточенных нагрузок, приложенных в узлах, работают главным образом на центральное сжатие или растяжение. Это дает возможность значительно лучше использовать материал фермы, так как эпюры нормальных напряжений в поперечных сечениях каждого из ее стержней практически имеют вид прямоугольников. Поэтому ферма легче балки со сплошной стенкой, имеющей одинаковые с ней пролет и высоту.

Мгновенная изменяемость систем может быть обнаружена в некоторых случаях достаточно просто. Можно доказать, что в элементах мгновенно изменяемых систем при действии внешних сил могут возникать бесконечно большие усилия или усилия неопределенной величины.

Одновременно можно доказать и обратное положение: если при любой заданной нагрузке усилие в каждом элементе системы имеет вполне определенное конечное значение, а при отсутствии нагрузки (при так называемой нулевой нагрузке) усилия во всех элементах равны нулю и такое (нулевое) решение является единственно возможным, то система геометрически неизменяема.

Основанный на последнем признаке способ исследования мгновенной изменяемости системы называется способом нулевой нагрузки. Применяя способ нулевой нагрузки для исследования мгновенной изменяемости, необходимо предварительно убедиться в том, что система во всех своих частях имеет достаточное для ее неизменяемости число стержней. В противном случае применение этого способа может привести к ошибочным заключениям. В самом деле, если способ нулевой нагрузки применить к шарнирному четырехугольнику и поочередно рассмотреть условия равновесия его узлов, то усилия во всех его стержнях окажутся равными нулю; тем не менее система геометрически изменяема.

Расстояние между осями опор фермы (Рис.5. 2 а) называется пролетом; стержни, расположенные по внешнему контуру фермы, называются поясными и образуют пояса; стержни, соединяющие пояса, образуют решетку фермы и называются: вертикальные - стойками, наклонные - раскосами.

Рис.5.2

Расстояние между соседними узлами любого пояса фермы (обычно измеряемое по горизонтали) называется панелью.

Классификацию ферм проведем по следующим пяти признакам: 1) характеру очертания внешнего контура; 2) типу решетки; 3) типу опирания фермы; 4) назначению фермы; 5) уровню езды.

По характеру очертания различают фермы с параллельными поясами (Рис.5.3,а) и с ломаным или так называемым полигональным расположением поясов. К последним относятся, например, фермы с параболическим очертанием верхнего пояса (Рис.5.3,б) и фермы треугольного очертания (Рис.5.3,в).

По типу решетки фермы делятся на: фермы с треугольной решеткой (Рис.5.3,а); фермы с раскосной решеткой (Рис.5.3,б);

Рис.5.3

фермы с полураскосной решеткой (Рис.5.3,е); фермы с ромбической решеткой (Рис.5.3,г); двухрешетчатые (Рис.5.3,д), многорешетчатые (Рис.5.3,е).

Рис.5. 4

По типу опирания фермы могут быть: закрепленными у обоих концов - балочными (Рис.5.4) или арочными (Рис.5.4,д,е); консольными - закрепленными у одного конца (Рис.5.4,б); балочно-консольньми (Рис.5.4,в г)В зависимости от назначения различают фермы стропильные (Рис.5.4,а), крановые (Рис.5.4,б), башенные (Рис.5.4.в), мостовые (Рис.5.4)и др.

Мостовые фермы в зависимости от уровня езды делятся на фермы с ездой понизу (Рис.5.4,а), фермы с ездой поверху, (Рис.5.4,б) и фермы с ездой посередине (Рис.5.4,в).

Фермы, образованные из шарнирного треугольника путем последовательного присоединения, узлов (причем каждого с помощью двух стержней, не лежащих на одной прямой), называются простейшими. Такие фермы геометрически неизменяемы и статически определимы.

Для определения внутренних усилий следует выделять сечениями узлы или отдельные части фермы и рассматривать условия их равновесия под действием внешних нагрузок и усилий в рассеченных стержнях. Всего можно составить 2К-3 таких условий (т. е. независимых друг от друга уравнений).

Выделение узлов или частей фермы необходимо производить так, чтобы усилия в элементах фермы определялись наиболее просто, по возможности без совместного решения системы уравнений со многими неизвестными. Это позволяет не только значительно упростить расчет, но и получить более точные результаты.

Ниже излагаются способы расчета, позволяющие определить внутреннее усилие в каждом из элементов фермы, как правило, с помощью одного уравнения с одним неизвестным.

Способ моментной точки.

Способ моментной точки применяется главным образом в тех случаях, когда удается рассечь ферму на две части так, чтобы при этом перерезанными оказались три ее стержня, направления осей которых не пересекаются в одной точке (см., например, сечение 1-1 на Рис.5.5 слева). Направления осей трех таких перерезанных стержней пересекаются попарно в трех точках, не лежащих на одной прямой (Рис.5. 5, справа).

Рис.5. 5

Составляя последовательно уравнения моментов всех сил (внешних и внутренних), действующих на отсеченную часть фермы, относительно этих трех точек, будем каждый раз получать уравнение с одним неизвестным, представляющим собой усилие в рассеченном стержне, не проходящем через рассматриваемую точку пересечения стержней.

Таким образом, для определения усилия в каком-либо стержне необходимо разрезать ферму так, чтобы в разрез кроме данного стержня попали еще два других (оси которых не сходятся с ним

в общей точке), после чего из уравнения моментов относительно точки пересечения осей этих двух стержней можно легко определит усилие в данном стержне.

Точка пересечения осей двух стержней, относительно которой составляется уравнение моментов, называется моментной.

При составлении уравнений равновесия все неизвестные усилии в стержне фермы условно считаются положительными, т. е. растягивающими и, следовательно, направленными от узлов. Если после решения уравнений какое-либо усилие окажется отрицательным то, значит, оно является сжимающим и направлено к узлу.

На основании рассмотренных примеров можно сделать следующие выводы:

1. Способом моментной точки удобно пользоваться при расчете ферм, когда можно провести разрез, пересекающий кроме данного стержня (усилие в котором определяется) любое число стержней, сходящихся в одной общей точке, не лежащей на направлении оси данного стержня.

2. Способ моментной точки удобен также и в случаях, когда разрез пересекает более трех стержней, не сходящихся в одной точке, если усилия во всех стержнях, кроме трех, уже известны.

3. Способ моментной точки применим и для расчета таких ферм, в которых возможно провести разрезы, пересекающие любое число стержней сверх трех, если при этом каждый добавочный стержень пересекается дважды.

Как видно, при расчетах ферм по способу моментной точки каждое усилие определяется с помощью одного уравнения с одним неизвестным. При этом уравнение моментов составляется таким образом, что в состав его входят только действующие на ферму внешние силы и одно определяемое усилие в рассчитываемом элементе. В этих случаях возможная ошибка при определении усилия в одном элементе не оказывает влияния на усилие в другом элементе.

Рис.5. 6

Рис 5.7.

Способ проекций.

Способ проекций применяется главным образом в следующих двух вариантах:

1) рассматривается равновесие части фермы (как и при способе моментной точки), когда два из трех рассеченных стержней параллельны друг другу;

2) рассматривается равновесие выделяемых из фермы узлов (способ вырезания узлов). Определим усилия в элементах решетки фермы, изображенной на Рис.5.7.

Для определения усилия V₅₆ разрежем ферму сечением 1-1, пересекающим стержни 4 - 6, 5 - 6 и 5 = 7. Так как моментная точка для усилия V₅₆ вследствие параллельности стержней 4 - 6 и 5 - 7 находится в бесконечности, то составить уравнение моментов относительно этой точки невозможно. Поэтому составим условие равновесия в виде суммы проекций всех сил, действующих на отсеченную часть фермы (Рис.5.7), на ось, перпендикулярную ее поясам (в это уравнение усилия в поясах не войдут, так как они перпендикулярны оси проекций):

ΣY = R_A - P+V₅₆=0

откуда

V_{5 6} = -( P+V₅₆)

Для определения усилия D разрежем ферму по линии II - II (см. Рис.5. 7) и составим уравнение равновесия для левой ее части (Рис.5. 4):

ΣY = R_A – P –P - D₆₇ sin a=0

откуда

D₆₇= (R_A - 2P)/sin a

Метод вырезания узлов

При расчете простейших ферм все усилия можно определить способом проекций, применяя его последовательно к каждому узлу. При этом определение усилий надо начинать с узла, в котором сходится не более двух стержней.

Рис.5.8

Для примера, определим усилия в стержнях 1 - 2, 1 - 3, 2 - 3 и 3 - 5 фермы, изображенной на рис.5. 8. Вырежем сначала левый опорный узел (Рис.5.8) и рассмотрим условия его равновесия.

Для определения усилия O12 спроецируем все силы, действующие на узел, на ось, перпендикулярную направлению стержня 1 - 3, т. е. на вертикальную ось у:

ΣY = R_A + O₁₂ sin a =0

откуда

O₁₂ = -R_A / sin a.

В данном случае R_A равно Р/2, а потому

O₁₂ = - Р /(2 sin a).

Таким образом, при расчете фермы способом вырезания узлов усилия в ряде стержней можно найти только после предварительного определения усилии в других стержнях. В связи с этим случайная ошибка в определении одного усилия может привести к не правильному определению усилий в целом ряде стержней Кроме того, недостатком этого способа является и то что в уравнения равновесия всегда входят тригонометрические функции это усложняет расчет

Отметим, что если к узлу, в котором сходятся два стержня, не лежащие на одной прямой, не приложена внешняя нагрузка, то усилия в этих стержнях равны нулю

Кроме простейших систем, т. е. систем, образованных из шарнирного треугольника путем последовательного присоединения к нему новых узлов (причем каждого с помощью двух стержней, не лежащих на одной прямой), встречаются системы и с более сложной геометрической структурой (образованием). Эти системы, называемые сложными, в ряде случаев могут быть получены из простейших заменой одних стержней другими без нарушения геометрической неизменяемости всей системы. Расчет сложных систем часто требует совместного решения уравнений. Однако перестановкой стержней сложные системы во многих случаях могут быть преобразованы в простейшие или в такие, которые поддаются более простому расчету, не требующему совместного решения уравнений. Перестановка стержней состоит в удалении одних стержней — заменяемых и введении в систему других стержней — заменяющих. Так как в заданной сложной системе заменяющие стержни отсутствуют, то дополнительными условиями для определения усилий в ее стержнях служат уравнения, выражающие равенство нулю усилий в каждом из заменяющих стержней.

Способ расчета сложной системы, основанный на преобразовании ее перестановкой стержней в более простую, носит название способа замены стержней.

Основная литература 1 [стр. 98-121], 2[стр.62-71]

Дополнительная литература 2 [стр.54-67]

Контрольные вопросы:

1. Какая строительная конструкция называется статически определимой фермой

2. Какой элемент фермы называете раскосом;

3. Какой элемент фермы называется стойкой;

4. Что такое пролет фермы;

5. Какое расстояние называется панелью фермы

6. По каким признакам принято классифицировать фермы;

7. Какие усилия действуют в стержнях фермы;