6.3 Теорема о взаимности работ

Рассмотрим два состояния упругой системы, находящейся в равновесии. В каждом из этих состояний на систему действует некоторая статическая нагрузка (Рис.6.4,а). Обозначим перемещения по направлениям сил F₁ и F₂ через , где индекс “i” показывает направление перемещения, а индекс “j” – вызвавшую его причину.

Рис.6. 4

Обозначим работу нагрузки первого состояния (сила F₁) на перемещениях первого состояния через А₁₁, а работу силы F₂ на вызванных ею перемещениях – А₂₂:

.

Используя (6.9), работы А₁₁ и А₂₂ можно выразить через внутренние силовые факторы:

(6.10)

Рассмотрим случай статического нагружения той же системы (Рис.6.4,а) в такой последовательности. Сначала к системе прикладывается статически возрастающая сила F₁ (Рис.6.4,б); когда процесс ее статического нарастания закончен, деформация системы и действующие в ней внутренние усилия становятся такими же, как и первом состоянии (Рис.6.3,а). Работа силы F₁ составит:

Затем на систему начинает действовать статически нарастающая сила F₂ (Рис.6.4,б). В результате этого система получает дополнительные деформации и в ней возникают дополнительные внутренние усилия, такие же, как и во втором состоянии (Рис.6.4,а). В процессе нарастания силы F₂ от нуля до ее конечного значения сила F₁ , оставаясь неизменной, перемещается вниз на величину дополнительного прогиба и, следовательно, совершает дополнительную работу:

Сила F₂ при этом совершает работу:

Полная работа А при последовательном нагружении системы силами F₁, F₂ равна:

(6.11)

С другой стороны, в соответствии с (2.4) полную работу можно определить в виде:

(6.12)

Приравнивая друг к другу выражения (6.11) и (6.12), получим:

(2.13)

или

А₁₂=А₂₁ 2.14)

Равенство (2.14) носит название теоремы о взаимности работ, или теоремы Бетти: работа сил первого состояния на перемещениях по их направлениям, вызванных силами второго состояния, равна работе сил второго состояния на перемещениях по их направлениям, вызванных силами первого состояния.

Опуская промежуточные выкладки, выразим работу А₁₂ через изгибающие моменты, продольные и поперечные силы, возникающие в первом и втором состояниях:

(6.15)

Каждое подынтегральное выражение в правой части этого равенства можно рассматривать как произведение внутреннего усилия, возникающего в сечении стержня от сил первого состояния, на деформацию элемента dz, вызванную силами второго состояния.

6.4 Теорема о взаимности перемещений

Пусть в первом состоянии к системе приложена сила , а во втором -(Рис.6.5). Обозначим перемещения, вызванные единичными силами (или единичными моментами) символом. Тогда перемещение рассматриваемой системы по направлению единичной силыв первом состоянии (то есть вызванное силой) -, а перемещение по направлению силыво втором состоянии -.

На основании теоремы о взаимности работ:

, но , поэтому, или в общем случае действия любых единичных сил:

(2.16)

Рис.6. 5

Полученное равенство (6.16) носит название теоремы о взаимности перемещений (или теоремы Максвелла): для двух единичных состояний упругой системы перемещение по направлению первой единичной силы, вызванное второй единичной силой, равно перемещению по направлению второй силы, вызванному первой силой.