8.3 Каноническое уравнение метода перемещений

Представим уравнение (8.3) в развернутой форме. Для этого рассмотрим конкретную систему (Рис.8.3,а). Ее степень кинематической неопределимости , где n_у – число неизвестных углов поворота узлов; n_л – число неизвестных линейных перемещений узлов. Основную систему метода перемещений получим, вводя две дополнительных связи, одна из которых препятствует угловому перемещению узла, а другая – линейному (Рис.8.3,б). Во введенных связях появляются реактивные усилия: момент – в заделке и сила – в стержне. Уравнения, аналогичные уравнениям (8.3), в данном случае имеют вид:

(8.4)

Заменим реактивный момент R₁ суммой:

Второй индекс у обозначений реакций указывает на то воздействие, которое является причиной появления реакции, т.е. R_1F – реактивный момент во введенной заделке от действия внешней нагрузки (Рис.8.3,в); R₁₁ – реактивный момент во введенной заделке от поворота этой же заделки на угол Z₁; R₁₂ – реактивный момент во введенной заделке от линейного смещения узлов 1 и 2 на величину Z₂.

Реактивные моменты R₁₁ и R₁₂ от Z₁ и Z₂ можно заменить выражениями:

где r₁₁ – реактивный момент в заделке от поворота этой же заделки на угол (т.е. 1 радиан); r₁₂ – реактивный момент во веденной заделке от смещения по горизонтали узла на величину (Рис.8.3,г,д).

После этой замены первое из уравнений (8.4) получим в виде:

(8.5)

Рис.8. 3

Производя аналогичное преобразование второго уравнения (8.4), приведем его к виду:

В уравнении (8.6) r₂₁ – реактивное усилие во введенном стержне, возникающее от поворота заделки на угол (Рис.8.3,г); r₂₂ – реактивное усилие в стержне от линейного смещения узлов 1 и 2 на величину (Рис.8.3,д); R_2F – реактивное усилие в стержне от действия заданной нагрузки (Рис.8.3,в).

Физический смысл первого уравнения состоит в отрицании момента во введенной заделке, а второго – в отрицании усилия во введенном стержне. Вместе эти уравнения образуют систему канонических уравнений метода перемещений для дважды кинематически неопределимой системы. В общем случае, при n неизвестных, система канонических уравнений метода перемещений имеет вид:

(8.7)

В уравнениях (8.7) коэффициенты (реакции) …,расположенные на главной диагонали, называются главными; коэффициентыназываются побочными, а свободные члены R_1F, R_2F, …, R_nF – грузовыми реакциями. В этих уравнениях, так же как и в уравнениях метода сил, коэффициенты при неизвестных, расположенные симметрично относительно главной диагонали, равны друг другу:

Система канонических уравнений метода перемещений отличается от аналогичной системы уравнений метода сил тем, что вместо коэффициентов и, выражающих перемещения в основной системе метода сил, в нее входят коэффициентыи, выражающие реакции дополнительных закреплений в основной системе метода перемещений, а вместо неизвестных усилий- неизвестные перемещения.