МАОС без 1 главы

принципах, либо применять более сложные алгоритмы решения задачи обнаружения.

PD

q2

q1 q=0

0,5

q2>q1

Рис. 2.7

Описанная в подразделе 1.4 пропорциональность выходного сигнала коррелятора и согласованного фильтра позволяет применять последний в оптимальных обнаружителях. Структурная схема подобного обнаружителя детерминированного сигнала изображена на рис. 2.8. На вход согласованного фильтра 1 подается смесь x(t) полезного сигнала и белого или квазибелого шума. Сигнал с выхода согласованного фильтра y(t), который в соответствии с выражением (1.12) с точностью до произвольной постоянной равен значению корреляционного интеграла:

в пороговом устройстве 2 сравнивается с пороговым значением y0 = kz0. При превышении максимальным значением этого уровня (ymax(t) > y0) принимается решение о наличии полезного сигнала, в противном случае (ymax(t) < y0 ) – о его отсутствии. Если спектр частот детерминированного сигнала занимает полосу более узкую, чем спектр помехи, то при построении характеристик фильтра можно пренебречь ограниченностью спектра помехи и считать шум

43

белым, т. е. для фильтрации можно применять согласованный фильтр. Закон распределения помехи и смеси сигнал / помеха на выходе фильтра останется гауссовским (узкополосное устройство «нормализует», т. е. приближает закон распределения к гауссовскому даже для процессов, отличных от гауссовского). Однако параметры законов распределения на выходе фильтра будут отличаться от параметров на его входе и могут быть определены по заданной комплексной частотной характеристике фильтра.

Рис. 2.8

Характеристики обнаружения для приемника на рис. 3.8 могут быть рассчитаны по формулам (2.15) – (2.16), но с учетом того, что в соответствии с выражением (1.16) дисперсия шума на выходе оптимального фильтра

На практике порог часто устанавливают по дисперсии шума на выходе приемника. Тогда

Необходимо отметить, что в реальных условиях детерминированные сигналы, как правило, не встречаются. Поэтому приведенные результаты следует рассматривать как теоретический верхний предел для характеристик обнаружения. Этот предел не может быть превышен в практических ситуациях, и можно лишь стремиться к его достижению.

2.7. Обнаружение сигнала со случайной начальной фазой

Рассмотрим обнаружение сигнала, имеющего детерминированную амплитуду и случайную начальную фазу высокочастотного заполнения. Будем считать, что плотность распределения вероятностей фазы равномерна в интервале 0...2 : p( )= 1/2 .

44

Отношение правдоподобия в этом случае будет еще и функцией фазы . Энергия сигнала мало зависит от , поэтому считаем ее постоянной.

Пусть полезный сигнал имеет вид:

s(t) A(t) cos 0t (t) β

где A(t) – детерминированный амплитудный множитель; (t) – детерминированный фазовый множитель; – случайный фазовый множитель.

Тогда выражение для корреляционного интеграла будет

Введем обозначения:

грал запишется в виде

Подставим эту формулу в выражение (2.14) для отношения правдоподобия полностью известного сигнала:

Это выражение является случайной функцией . Поэтому в нем необходимо произвести усреднение по . Тогда

Но, по определению,

45

где I0(x) – модифицированная функция Бесселя нулевого порядка. Окончательно

Это отношение правдоподобия является монотонной функцией огибающей корреляционного сигнала Z. Поэтому оптимальным правилом обнаружения является вычисление значения Z и сравнение его с порогом Z0. Если Z > Z0 , сигнал есть, если Z < Z0 , сигнала нет. Структурная схема обнаружителя, включающая два квадратурных канала, представлена на рис. 2.9.

Рис. 2.9

Вкаждом канале вычисляются квадратурные составляющие корреляционного интеграла z1 и z2 соответственно. Затем находится огибающая Z, которая сравнивается с порогом Z0, устанавливаемым в соответствии с выбранным критерием оптимальности.

Вкачестве опорных напряжений для умножителей используются сдви-

Для расчета кривых обнаружения необходимо найти законы распределения величины Z при наличии и отсутствии сигнала. Случайные величины z1 и z2 не коррелированы и распределены по гауссовскому закону. Тогда при

46

отсутствии сигнала на входе плотность распределения вероятностей Z описывается законом Рэлея

При наличии сигнала на входе плотность распределения вероятностей Z описывается обобщенным законом Рэлея

Тогда условная вероятность ложной тревоги

При работе обнаружителя по критерию Неймана-Пирсона из выражения (2.17) может быть определен порог регистрации Z0 :

Определяемая отсюда величина условной вероятности правильного обнаружения PD может быть найдена по таблицам функции распределения обобщенного закона Рэлея (закона Рэлея-Райса) либо численным интегрированием. Результаты расчетов по выражениям (2.17) и (2.18) приведены на рис. 2.6 (штриховые линии). Примерная картина плотностей распределения на входе порогового устройства приведена на рис. 2.10.

47

Рис. 2.10

Значительно проще структурная схема оптимального обнаружителя с согласованным фильтром (рис. 2.11):

Она состоит из согласованного фильтра 1, детектора огибающей 2 и порогового устройства 3. Детектор выполняет функцию выделения огибающей. Характеристики обнаружения такого обнаружителя могут быть определены по формулам (2.17) и (2.18).

2.8. Обнаружение сигнала со случайными амплитудой и начальной фазой

При работе систем обнаружения слабых сигналов, как правило, приходится иметь дело с сигналами, имеющими случайные значения амплитуд и начальных фаз. Такие сигналы можно записать в виде:

s(t) BA(t)cos 0t (t) ,

48

где B и – случайные амплитудный множитель и фаза с плотностями распределения:

Аналогично предыдущему, корреляционный интеграл можно представить в виде двух квадратурных составляющих:

где E s – энергия нефлуктуирующего сигнала при B = 1. Отсюда можно

Используя выражения (2.14) и (2.19), можно записать отношение правдоподобия в виде

Теперь необходимо усреднить это выражение по случайным параметрам

B и :

49

Схема оптимального обнаружителя сигнала со случайными амплитудой и начальной фазой не отличается от схемы оптимального обнаружителя сигнала со случайной фазой. По-прежнему оптимальной является квадратурная схема обработки. Плотность распределения вероятностей при отсутствии сигнала, как и ранее, описывается законом Рэлея:

При обнаружении по стратегии Неймана-Пирсона

50

Подставляя сюда выражение (2.21), можно получить

Выражение (2.23) устанавливает связь между условными вероятностями ложной тревоги и правильного обнаружения. Кривые обнаружения, рассчитанные по формулам (2.20) и (2.22), приведены на рис. 2.6 (штрихпунктирные линии). Из рисунка видно, что при увеличении отношения сигнал/помеха все кривые сначала растут медленно, а потом быстрее. При больших вероятностях правильного обнаружения кривые для сигнала со случайной начальной фазой и особенно для сигнала со случайными амплитудой и фазой смещены в сторону больших значений отношения сигнал/помеха. Наоборот, при малых вероятностях правильного обнаружения (PD 0,2) кривые обнаружения для сигнала со случайными амплитудой и фазой идут выше соответствующих кривых для других двух сигналов. Это объясняется тем, что при равенстве энергий амплитуда сигнала со случайными амплитудой и фазой с вероятностью Р = 0,74 будет превышать амплитуду сигнала с полностью известными параметрами [8].

Значительно проще структурная схема оптимального обнаружителя с согласованным фильтром (рис. 2.11). Характеристики обнаружения такого обнаружителя могут быть определены в соответствии с выражениями (2.20)– (2.23). Однако в ряде случаев удобнее оказывается использовать несколько иной подход. Как указывалось ранее, случайные сигналы (и помехи) на выходе согласованного фильтра обычно можно считать распределенными по гауссовскому закону. При этом на выходе согласованного фильтра можно

сигнала. Тогда на выходе детектора помеха и смесь сигнала с помехой будут распределены по закону Рэлея:

51