МАОС без 1 главы

или, в силу симметрии ковариационной функции,

Тогда в соответствии с формулой (2.14) выходной сигнал имеет вид

Видно, что длительность треугольного радиоимпульса на выходе согласованного фильтра в два раза превышает длительность прямоугольного радиоимпульса на входе.

Рис. 1.6

На практике для фильтрации радиоимпульсов применяются квазиоптимальные фильтры в виде колебательных контуров с затуханием, систем таких контуров или активных полосовых фильтров. Возможно также использование различного рода электромеханических фильтров.

23

1. 7. Фильтрация сигнала на фоне реверберационной помехи

Спектральная плотность реверберационной помехи в каждый момент времени с точностью до постоянного множителя совпадает со спектральной плотностью зондирующего сигнала:

где S( ) – спектральная плотность зондирующего сигнала; а – коэффициент пропорциональности.

С другой стороны, можно считать, что амплитудный спектр Фэ ( j ) сигнала, отраженного от дефекта, также пропорционален амплитудному спектру зондирующего сигнала Ф( j ):

где k – коэффициент пропорциональности, учитывающий коэффициент отражения от выявляемого объекта и ослабление амплитуды сигнала при его

Тогда на основе формулы (1.8) можно записать выражение для частотной характеристики оптимального фильтра обнаружения эхо-сигнала на фоне реверберационной помехи:

Фильтр, комплексная частотная характеристика которого определяется формулой (1.21), называется обратным фильтром или фильтром Урковица. Видно, что фильтрация здесь затруднена, так как она осуществляется за счет подавления спектра сигнала.

На практике реверберационная помеха действует вместе с некоррелированной с сигналом шумовой помехой, имеющей спектральную плотность N0/2 в полосе частот 1 2 . В этом случае спектральная плотность помехи

24

Тогда можно получить выражение для частотной характеристики оптимального фильтра:

Исследование последнего выражения показывает, что отношение сиг-

Таким образом, для минимизации влияния реверберационной помехи нужно использовать широкополосные сигналы с равномерным спектром. При этом увеличение ширины спектра сигнала при неизменной излучаемой мощности приводит к уменьшению значений спектральной плотности.

1.8. Оптимальная фильтрация сигналов по критерию минимума среднеквадратической ошибки (сглаживающие и прогнозирующие фильтры)

При классификации сигналов или измерении их параметров необходимо получить возможно более точную информацию об интересующем объекте. Иногда необходимо по обработанной части сигнала предсказать (достроить) значение сигнала в последующие моменты времени. Первую задачу – выделение сигнала из шумов с минимальными искажениями – решают так

25

называемые сглаживающие фильтры, вторую задачу – прогнозирующие фильтры.

Для количественной оценки качества фильтрации можно использовать различные критерии. Наиболее употребительным является критерий минимизации среднего значения квадрата ошибки передачи сигнала

где s( t+ ) – значение сигнала в момент времени t+ ; – интервал времени

предсказывать значение входного сигнала s(t) на интервал вперед. Ошибка2 может быть определена, если известны корреляционные функции входного сигнала и шума.

Пусть на вход линейного фильтра поступает аддитивная смесь сигнала s(t) и помехи n(t): x(t) = s(t) + n(t). Требуется определить характеристики фильтра, выходной сигнал которого минимально отличался бы от истинного значения s(t+ ). Если = 0, то имеем дело со сглаживающим фильтром; если 0 и n(t) = 0, то фильтр прогнозирующий; если 0 и n(t) 0, то у нас смешанный сглаживающе-прогнозирующий фильтр.

Рассмотрим последний, наиболее общий случай, в предположении, что сигнал и помеха стационарны в широком смысле, время наблюдения tn = и известна вся предыстория процесса на интервале (- , t ).

Рис. 1.7

Формальная структурная схема, поясняющая выбор критерия оптимальности фильтра, представлена на рис. 1.7. Здесь 1 – сумматор; 2 – идеальный фильтр; 3 – реальный фильтр; 4 – устройство вычисления ошибки. Пусть h(t)

– импульсная характеристика реального фильтра. Тогда

26

и среднеквадратическая ошибка

h( )h( )x(t )x(t ) d d .

Если hopt(t) – импульсная характеристика оптимального фильтра, то среднеквадратическая ошибка для любого другого фильтра с импульсной ха-

может быть только больше или равна среднеквадратической ошибке оптимального фильтра. Для фильтра, имеющего характеристику, описываемую формулой (1.23), среднеквадратическая ошибка с учетом сделанных ранее обозначений

hopt ( ) g( ) hopt ( ) g( ) Kx ( )d d

27

Для любых g( ) это выражение справедливо лишь при

Отсюда видно, что импульсная характеристика оптимального фильтра может быть получена при решении интегрального уравнения (1.25). Это решение может быть получено с помощью теоремы о Фурье-преобразовании

где F – обозначение преобразования Фурье, Sxs( ) – взаимная спектральная плотность принятого сообщения и сигнала; Sx( ) – спектральная плотность принятого сообщения; Kopt(j ) – оптимальная частотная характеристика фильтра. Тогда уравнение (1.25) с учетом формул (1.26) запишется в виде

28

Это решение, строго говоря, описывает физически невозможный фильтр. Однако оно имеет практический смысл, так как приближенно применимо в тех случаях и с тем большей точностью, когда можно допустить большую задержку отклика фильтра относительно входного воздействия. Поэтому говорят, что это решение пригодно для фильтров с бесконечной задержкой.

Для физически возможных фильтров импульсная характеристика h(t) в силу принципа причинности существует только для t > 0 , так как сигнал на выходе фильтра не может появиться раньше начала импульса на входе. Для физически возможных фильтров уравнение (1.25) приводится к виду

т. е. к виду интегрального уравнения Винера-Хопфа, и должно решаться соответствующими методами.

2. ОСНОВЫ ТЕОРИИ ОБНАРУЖЕНИЯ СИГНАЛОВ НА ФОНЕ ПОМЕХ

2. 1. Постановка задачи

Обнаружение сигналов практически всегда происходит при необходимости установить факт наличия или отсутствия какого-либо определенного физического объекта. Однако непосредственно установить этот факт мы обычно не можем, а можем лишь воспользоваться тем, что наличие или отсутствие интересующего нас объекта изменяет те или иные параметры некоторого сигнала – амплитуду (или сам факт наличия сигнала), время прихода, частоту, фазу и т. п. Примером может служить сигнал эхо-локационной системы, отраженный от какого-либо объекта. В этом случае сигнал присутствует лишь при наличии объекта. В других случаях объект только изменяет параметры сигнала, который присутствует все время. Общим во всех этих

29

ситуациях является то, что сигнал поступает всегда вместе с помехами, а это может привести к ошибочным решениям. Случайный характер как помех, так и полезных сигналов приводит к тому, что при решении задачи обнаружения следует исходить из положений теории статистических решений.

2.2. Метод статистических решений

Пусть факт наличия или отсутствия сигнала s(t, ) в принятом колебании x(t) неизвестен [5]. Тогда можно записать:

где Q – случайная величина, могущая принимать лишь два значения: Q = 0 (сигнал отсутствует) и Q = 1 (сигнал присутствует). По принятой конкретной реализации x(t) на интервале T нужно оптимальным образом решить, присутствует или отсутствует полезный сигнал s(t, ). Иначе говоря, нужно оценить значение дискретного параметра Q . В результате решения задачи нужно получить структурную схему оптимального обнаружителя и определить количественные характеристики его работы. Задачи такого рода часто называются задачами бинарного обнаружения, поскольку имеются лишь две альтернативы: либо сигнал (и соответственно объект, его порождающий) присутствует, либо он отсутствует.

Г

Г0

(Н0)

Г1

(Н1)

Рис. 2.1

Пусть в результате проведения некоторого опыта значения xi случайной функции X попадают в область Г (рис. 2.1) [8]. Опыт производится для проверки гипотезы Н0 (нулевая гипотеза) о том, что случайная функция имеет

30

плотность распределения вероятностей p0(x) . Альтернативной является гипотеза Н1 о том, что случайная функция имеет плотность распределения p1(x).

Для принятия решения нужно сначала установить некоторый критерий или правило решения, т. е. каждому xi из области Г поставить в соответствие либо гипотезу Н0 , либо гипотезу Н1 , иначе говоря, разбить область Г на две части: Г0 и Г1, причем для x, попадающих в подобласть Г0, считать справедливой гипотезу Н0 , а для x, попадающих в подобласть Г1 – гипотезу Н1 . Так как решение должно быть однозначным, то возможны ошибки.

Ошибка первого рода состоит в том, что гипотеза Н0 отвергается, когда она на самом деле верна (принимается решение Н = Н1, когда на самом деле

Н = Н0).

Ошибка второго рода состоит в том, что гипотеза Н0 принимается, хотя на самом деле она является ложной (принимается решение Н = Н0, когда на самом деле Н = Н1) .

Пусть p0(x) = p(x|Н0) – плотность распределения вероятностей результатов опыта при условии, что верна гипотеза Н0 . Тогда условная вероятность ошибки первого рода

Она определяется вероятностью попадания точек xi в подобласть Г1 при

P 1 β p(x H1)dx.

1

Условная вероятность правильного решения относительно выбора гипотезы Н1 называется мощностью критерия (или мощностью решающего правила). Чем больше мощность критерия, тем лучше решение.

Очевидно, что оптимальный критерий (правило решения) должен тем или иным образом уменьшать ошибки решения.

31

Пусть плотность распределения вероятностей n-мерной выборки исследуемой случайной функции при условии, что верна гипотеза Н0, известна и равна p0 p(x1, x2 ,...,xn H0 ). Аналогично, плотность распределения вероят-

ностей при условии, что верна гипотеза Н1 , равна p1 p(x1, x2 ,...,xn H1). Тогда можно ввести отношение плотностей распределения

Это отношение называют отношением правдоподобия. Критерии, применяемые при проверке гипотез, обычно базируются на сравнении отношения правдоподобия с некоторым порогом l0 :

т. е. если l > l0 , принимается решение о справедливости гипотезы Н1, а если l < l0, принимается гипотеза Н0. Задача сводится к оптимальному выбору критического или порогового значения l0.

2. 3. Возможные решения при обнаружении сигнала

Выводы теории статистических решений могут быть успешно применены при обнаружении сигналов. При бинарном обнаружении на входе устройства обнаружения либо присутствует сигнал о наличии объекта (состояние A1), либо этот сигнал отсутствует (состояние A0 ). Устройство обнаружения при любом состоянии на входе может принимать два решения: либо решение

о наличии сигнала (решение A* ), либо решение об отсутствии сигнала (ре- 1

шение A* ). Тогда при работе такого устройства возможны четыре случая: 0

1. Сигнал на входе устройства присутствует (состояние A1), и устройство обнаружения принимает решение A1* о наличии сигнала. Такая ситуация называется правильным обнаружением, и безусловная вероятность существования такой ситуации

P(A1* A1) P(A1)P(A1* A1) P(A1)PD ,

где PD P( A1* A1) – условная вероятность правильного обнаружения.

32