Рівняння руху рідини

Для вісі

для вісі

для вісі

Якщо систему рівнянь доповнити умовами однозначності то ця система буде описувати конвективний теплообмін. Але в цьому випадку невідомих в системі буде більше ніж рівнянь (наприклад неможливо знайти складові швидкості по напрямках в турбулентному режимі руху рідини), аналітичних рішень такої системи не існує. Тому для вирішення такої системи рівнянь використовують теорію подібності.

Теорія подібності

Теорія подібності – це наука про методи наукового узагальнення експериментів. Одним із основних принципів теорії подібності є виділення із маси явищ групи подібних. Суть теорії подібності полягає у наступному:

• довести подібність величин

• провести експерименти на моделі

• зробити перерахунки на основі отриманих величин

• перенести отримані результати на великі установки

Теореми і методи теорії подібності

1. Подібні явища характеризуються чисельно рівнями критеріями подібності.

Ця теорема встановлює які величини необхідно вимірювати при проведенні дослідів, результати яких необхідно узагальнити. Вимірювати потрібно ті величини, які входять в критерії подібності.

Критерії подібності - це безрозмірні комплекси різнорідних фізичних величин, які отримані в наслідок перетворення диференційних рівнянь що описують фізичний процес. Критерії подібності завжди мають фізичний зміст, являючись мірою співвідношення між якимись двома ефектами, суттєвими для явища, що розглядається.

2. Теорема Букінгема: Рішення будь-якого диференційного рівняння може бути представлене в вигляді залежності між критеріями подібності. Такі рівняння називають критеріальними.

Теорема Букінгема дає відповідь на питання між якими критеріями треба шукати залежність.

3. Теорема Гурмана: Подібні ті явища, які описують однією і тією ж системою диференційних рівнянь і в яких зберігається подібність умов однозначності.

Явища є подібними тоді, коли їх визначальні критерії чисельно рівні.

Етапи вивчення процесів методом теорії подібності

1. Складають диференційне рівняння, і, встановивши умови однозначності, проводять подібні перетворення рівнянь, знаходять критерії подібності.

2. Дослідним шляхом на моделі встановлюють конкретний вид залежності між критеріями причому отримані узагальнені розрахункові рівняння справедливі для всіх подібних явищ в рамках зміни визначаючих критеріїв.

Розглянемо рівняння на границі двох середовищ.

викресливши в цьому комплексі символи диференціювання, різниці, напрямку, отримаємо

де -критерій Нуселта, характеризує інтенсивність теплообміну на границі розподілу двох фаз.

Розглянемо диференційне рівняння енергії вздовж вісі

викресливши в отриманих комплексах символи диференціювання, різниці, напрямку, отримаємо

де -критерій Фур’є, характеризує зв’язок між швидкістю зміни температурного поля, розмірами і фізичними характеристиками середовища, в нестаціонарних теплових процесах.

де -критерій Пеклє, він характеризує відношення кількості теплоти, поширеної в потоці рідини, конвекцією і теплопровідністю.

можна записати

У випадку коли теплообмін відбувається в умовах невимушеної конвекції, обумовленою різницею густин, то в силу вступає критерій Архімеда, який виражає відношення гравітаційних сил до в’язкісних.

де і- густина нагрітої і холодної рідини.

Оскільки в теплових процесах різниця густин виникає внаслідок різниці температур, то число Архімеда записують

тут -критерій Грасгофа, характеризуєгравітаційні сили.

Із системи рівнянь ми отримали

Якщо процес стаціонарний:

Так як , то можемо його опустити:

Розв’язок цього рівняння будемо шукати у вигляді степеневої функції:

- вказують на степінь впливу.Для їх знаходження проводять експеримент, приймаючи один з критеріїв за постійну величину.