2.9.2 Основы теории Демстера–Шеффера

Прежде всего, остановимся на основных понятиях и определениях ТДШ. Возможно, наиболее основным понятием этой теории является фрейм различенияQ, определяемый как полное множество взаимоисключающих событий. Роль фрейма различенияQв ТДШ такая же, как роль выборочного пространстваWв теории вероятностей. Однако отличие заключается в том, что если в теории вероятностей число возможных гипотез равно , то в ТДШ число возможных гипотез равно и представляет собой все возможные подмножестваQ.

Пример 1. Пусть полное множество взаимоисключаемых событий связанных с перевозкой груза включает в себя 4 события, определяющие перевозки железнодорожным (ЖД), автомобильным (Авто), морским (МТ) и авиационным (Авиа) транспортом. В этом случае фрейм различения Q, как и выборочное пространствоW, имеют по 4 элемента. Но если в теории вероятностей число возможных гипотез равно 4: Н₁={Авто}; H₂={МТ}; H₃={ЖД}; H₄={Авиа}, то в ТДШ число возможных гипотез будет 2⁴ = 16:

	События
i	ЖД	Авто	МТ	Авиа	Ai (гипотезы)
0	0	0	0	0	{Æ}
1	0	0	0	1	{Авиа}
2	0	0	1	0	{МТ}
3	0	0	1	1	{МТ, Авиа}
4	0	1	1	0	{Авто}
-	-	-	-	-	-
7	0	1	1	1	{Авто, МТ, Авиа}
-	-	-	-	-	-
15	1	1	1	1	{ЖД, Авто, МТ, Авто}

ТДШ несколько по-иному трактует не только понятие гипотезы, но и её отрицание в теории Демстера - Шеффера:

гипотеза А означает "А и только А"

в то время как

А означает "что угодно, но не А".

То есть ТДШ рассматривает наблюдение свидетельств против гипотезы как свидетельства поддержки отрицания гипотезы.

Пример 2. Если мы воспользуемся определениями гипотез из примера 1, то свидетельства, нарушающие гипотезу А={Авто} (т.е. автомобильный и только автомобильный транспорт) эквивалентно свидетельству, поддерживающему гипотезу А={МТ, ЖД, Авиа} (т.е. что угодно, но не автомобильный транспорт)

Рассмотрим еще одно фундаментальное понятие ТДШ, а именно понятие базовой вероятности. Пусть А - некоторое подмножествоQ. Основная мера вероятности, обозначаемая m(A), - это базовая вероятность, приписываемая множеству А. Величина m(A) может рассматриваться как порция (или доля) от общего доверия, назначаемая точно А. Во многих аспектах это число может рассматриваться подобно обычной вероятности.

Функции р(А) и m(A) в первую очередь отличаются тем, что в теории вероятностей А должно быть отдельным элементом, в то время как в ТДШ А может содержать несколько элементов, т.е. являться множеством. Базовые вероятности должны удовлетворять двум основным свойствам:

1) базовая вероятность нулевого события равна 0 , т.е. m(Æ)=0

2) сумма базовых вероятностей для всех подмножеств фрейма различения Qравна 1, т.е. = 1.

Пример 3. Пусть в результате экспертного оценивания возможности транспортировки грузов 30% экспертов высказывались за использование автотранспорта, 20% - за железнодорожный, 10% - за морской, а 40% - за использование либо автомобильного, либо железнодорожного транспорта (не выделив предпочтение одного из них). Тогда базовые вероятности, назначаемые как порции от общего доверия экспертов к возможным транспортировкам, будут иметь значение:

m({Авто}) =0.3; m({ЖД})=0.2; m({МТ})=0.1

m({Авто, ЖД})=0.4

m(Ai)=0 во всех остальных 12-ти случаях

При этом должно выполняться второе свойство базовых вероятностей, т.е.

= m({Авто}) + m({ЖД}) + m({МТ}) + m({Авто, ЖД}) = 1

Отметим ещё одну особенность ТДШ по сравнению с теорией вероятностей. Так как А может являться не только конкретным элементом, но и множеством, то это позволяет задавать оценки базовых вероятностей для интервалов изменения случайных величин, не зная их законов распределения на этих интервалах.

Так, например, если в рамках теории вероятностей эксперт может предположить, что прибыль фирмы будет 50 тыс. руб. с вероятностью Р(50)=0.5, 60 тыс. руб. с вероятностью Р(60)=0.2 и т.д. для всех вероятных исходов, то в рамках ТДШ эксперт может дать следующие оценки прибыли фирмы: от 50 до 70 тыс. руб. с вероятностью m(5070)=0.4, от 60 до 80 тыс. руб. с вероятностьюm(6080)=0.3

Другими словами, если для определения вероятности некоторой совокупности событий при использовании теории вероятностей необходимо знать вероятности всех элементарных исходов, то при использовании ТДШ это не обязательно. Однако платой за это является возможность получения только интервальных оценок, к способам, определения которых мы и переходим.