Операции над комплексными числами

	Наименование операции	Формулы
1	Сложение и вычитание в алгебраической форме
2	Сложение и вычитание сопряженных чисел
3	Умножение в алгебраической форме
4	Умножение сопряженных чисел
5	Деление в алгебраической форме
6	Умножение в показательной форме
7	Умножение в тригонометрической форме
8	Деление в показательной форме
9	Деление в тригонометрической форме
10	Возведение в целую степень в показательной и тригонометрической формах
11	Корень целой степени
12	Формула Эйлера
13	Формула Муавра

Обозначение:

Комплексным числом называется величина, где х и у действительные числа, называемые действительной и мнимой частями числа,- мнимая единица,. Таким образом,

Суммой комплексных чисел иназ.к.ч., равное

Произведением действительного числа на комплексное числоназ.величина, равная

Разность комплексных чисел иравна

Пример 1.

Произведение комплексных чисел инаходится по правилу

.

Таким образом, .

Пример 2.

Пример 3.

Пример 4.

Пример 5.

Пример 6.

Число называется сопряженным к комплексному числу.

Имеем

Частным иназывается число, для которого. Частное обозначается

. Вычисляется по правилу:

Таким образом,

Пример 7.

Пример 8.

Пример 9.

Тригонометрическая форма комплексного числа

Комплексное число можно представить в виде упорядоченной пары-радиус- вектор на комплексной плоскости с началом в начале координат и с концом в точке. При этом радиус-вектор или комплексное числохарактеризуется модулем или длиной вектора=, с углом наклонак оси абсцисс . Будем называтьглавным значением аргумента или аргументом, если. Обозначается.

При этом положителен, если он отсчитывается от положительного направления оси абсцисс против часовой стрелки, и отрицателен, если наоборот. Ясно, что. Отсюда получаем тригонометрическую форму комплексного числа:

Используя разложение функций ив ряды Тейлора, можно показать, что

(формула Эйлера)

Если заданы и, то аргументнаходится следующим образом:

Точка zлежит в первой четверти комплексной плоскости,. Тогда. Точкаzлежит во второй четверти комплексной плоскости,. Тогда. Точкаzлежит в третьей четверти комплексной плоскости,. Тогда. Точкаzлежит в четвертой четверти комплексной плоскости,. Тогда.

Рассмотрим частные случаи:

Если , точкалежит на осисправа от начала координат, тогда. Если, точкалежит на осивыше начала координат, тогда. Если, точкалежит на осислева от начала координат, тогда. Если, точкалежит на осиниже начала координат, тогда.

Если, , точкалежит в четвертой четверти,. Если, точкалежит в первой четверти ,. Если, точкалежит во второй четверти ,. Если, точкалежит в четвертой четверти ,. Если, точкалежит в третьей четверти ,.

Можно показать, что, если ,, то

,

в частности, если умножим число само на себяраз, получим формулу Муавра

Пример 10. Записать в тригонометрической форме числа

1) ; 2)

Решение. 1) . Отсюда

2) . Отсюда

В следующих двух примерах применим формулу Муавра.

Пример 11. Найти

Решение.

Пример 12. Найти

Решение. Имеем

Производная функции комплексного переменного

Производной от функции в точкеназывается предел

, когда любым образом стремится к нулю.

Производная функции порядкаобозначаетсяи определяется по индукции

,

Например, ,и так далее.

Правила дифференцирования функций комплексного переменного такие же как и для функций действительного переменного.

Пусть функции комплексного переменного иимеют производные

и в точке. Тогда

По определению Таким образом,

, где - комплексная или действительная постоянная.

Таблица производных функций комплексного переменного

и т.д.

Таблица производных сложных функций комплексного переменного

И так далее. Например

Ряды Фурье

Рядом Фурье функции называется сумма

где - отрезок, где задана функция,- коэффициенты ряда Фурье,

Пусть . Тогда

Пример 8. Коэффициент ряда Фурье функции, заданной на отрезкесоотношениемравен

Решение. Полагаем . Тогда

33