9. Көп айнымалыдан тәуелді функцияның локалды экстремумы. Локалды экстремумның қажетті және жеткілікті шарттары. Шартты экстремум.

сандық функциясы ашық жиынында анықталсын. Егер , біріншіден, нүктесі жиынының ішкі нүктесі болса, екіншіден, кірістіруі орындалатындай қайсыбір оң саны мен әрбір үшін теңсіздігі орындалса, онда нүктесін функциясы локальді максимум мәнін қабылдайтын нүкте, не қысқаша - локальді максимум нүктесі деп атайды. Егер теңсіздігі орындалса, онда нүктесін функциясы локальді минимум мәнін қабылдайтын нүкте, не қысқаша - локальді минимум нүктесі деп атайды.

Экстремум бар болуының қажетті шарты. Егер нүктесі функциясы үшін локальді экстремум нүктесі болып, функциясының нүктесінде барлық дербес туындылары бар болса, онда сол дербес туындылары міндетті түрде нольге тең болады, яғни (1)

Экстремумның жеткілікті шарттары (екі айнымалы жағдайы).

1 – теорема. Екі айнымалы сандық функциясы нүктесінің қайсыбір - маңайында анықталып, сол маңайда

дербес туындылары бар және үзіліссіз болып, сол нүктенің өзінде локальді экстремумның қажетті шарты орындалсын:

(2)

Мынадай белгілеулер енгізейік:

(3)

. Онда 1) егер болса, онда локальді экстремум нүктесі болып, болғанда локальді қатаң минимум, болғанда локальді қатаң максимум нүктесі болады;

егер болса, онда нүктесі локальді экстремум нүктесі емес;

егер болса, онда нүктесі туралы нақты ештеңе айтуға болмайды; ол локальді экстремум нүктесі болуы да, болмауы да мүмкін.

Шартты экстремум. сандық функциясы жиынында анықталып, жиыны берілсін. Егер: 1°. нүктесі Е жиынының ішкі нүктесі болса; 2°. а нүктесі F жиынында жатып, сол жиынның шектік нүктесі болса, яғни а нүктесінің әрбір маңайында а-дан өзге болатын F жиынының нүктесі табылса; 3°. а нүктесінің белгілі бір маңайы мен F жиынында жатқан әрбір нүктесі үшін теңсіздігі орындалса, яғни

( V_δ (a)

болса, онда а нүктесін f функциясының F бойынша шартты максимум (шартты минимум) нүктесі деп атайды. Әдеттегідей, шартты максимум мен шартты минимум шартты экстремум деп аталады.

Шартты экстремумның кажетті шарты.

Диференцианалданатын f функциялары арқылы

ψ(x₁,x₂,...,x_n) = f(x₁,x₂,...,x_n,φ₁(x₁,x₂,...,x_n),..., φ_m (x₁,x₂,...,x_n))

бойынша анықталған ψ(x₁,x₂,...,x_n) күрделі функциясы да сол маңайда дифференциалданады. Сондықтан локальді экстремумның қажетті шарттын қолданып келесі теңдеуге келеміз:

(a₁,a₂,...,a_n)=0 ,... , (a₁,a₂,...,a_m)=0 бұған байланыс теңдеудері беретін

F₁ (a₁,a₂,...,a_n+m)=0, ... , F_m (a₁,a₂,...,a_n+m)=0 теңдеулерін қосып, саны n+m болатын a₁,a₂,...,a_n+m белгісіз айнымалыларын табу үшін n+m теңдеу алдық. Осы теңдеулер шартты экстремумның қажеттін шартын құрайды.

Шартты экстремумның жеткілікті шарты.

x₁=a₁,...,x_n+m=a_n+m, λ₁= λ⁽⁰⁾₁, ... ,λ_m=λ⁽⁰⁾_m сандары

=0, ... ,=0;=0, ... ,=0 (1)

жүйесінің шешімін құрасын. Онда Ф(x)=f(x)+λ⁰₁F₁(x)+...+λ⁰_mF_m(x) Лагранж функциясы үшін

(2)

жүйесі n айнымалылы Q квадраттық формасын анықтайды.

10. Сандық қатарлар. Абсолют және шартты жинақты қатарлар. Қатар жинақтылығының жеткілікті шарттары.

Жинақты болудың қажетті шарты. Қатараларды қарстыруда мынандай екі мәселе туады:

1) қатардың жинақты, не жинақсыз болатынын анықтау, және 2)қатар жинақты болған жағдайда, оның қосындысын табу.

4-теорема. Егер қатары жинақты болса, онда оның жалпы мүшесі нөмірі шектеусіз өскенде нолге ұмтылады, яғни

Дәлелдеу.Айталық қатары жинақты және оның қосындысы болсын. Оның

және дербес қосындыларын қарастырайық. Бұлардан

Сондықтан,

Өйткені және . Мұнда -да . Сонымен, екен.

Салдар. (Қатардың жинақсыз болуының жеткілікті шарты.)

Егер қатардың жалпы мүшесі нөмірі шектеусіз артқанда нөлге ұмтылмайтын болса, онда қатар жинақсыз болады.

Шынында, егер қатарды жинақты десек, онда алдыңғы теоремаға сәйкес қатардың жалпы мүшесі нолге ұмтылған болар еді. Бірақ, бұл шартқа қайшы. Сондықтан, қатар жинақсыз.

11. Функционалдық тізбектер және қатарлар. Функционалдық тізбектер мен қатарлар бірқалыпты жинақтылығының жеткілікті белгілері.

Жалпы тізбек деп барлық оң бүтін сандар жиынында анықталған функция аталады. Нақты сандар жиыны берілсін. Егер әр n оң бүтін санына E жиынында берілген функциясы сәйкес қойылса, онда осы сәйкестік Е жиынында анықталған функциялық тізбек деп аталады.

12. Дәрежелік қатарлар және олардың жинақталу облысы.Дәрежелік қатарлар мүшелеп интегралдау және мушелеп диффференциалдау. Функцияларды дәрежелік қатарларға жіктеу.

13. Қос интегралдаудың негізгі қасиеттері. Қос интегралдауда және үш еселі интегралдауда айнымалыны ауыстыру.

Екі еселі интеграл. Негізгі қасиеттері

z=f(x,y) D облысында анықталған D:D_i i=1̅,n̅ D_i M(x_i,y_i) f(x_i,y_i) ΔS_i–D_iоблысының ауданы, ∑ⁿ_i=1 f(x_i,y_i) S_i g-облысы бойынша интегралдық қосындысы. lim_n→∞∑ⁿ_i=1 f(x_i,y_i) S_i =∫_D∫f(x,y)dS . Егер f(x,y) үшін интегралдық қосындының n→∞ (maxdi→0) шегі D облысын n бөлікке бөлу әдісіне тәуелсіз ж/е осы облыстан M(x_i,y_i)нүкелерін таңдап алу әдісіне тәуелсіз бар болса онда осы шекті f(x,y) ф/ң D облысы бойынша екі еселі интегралы д.а. мұндағы f(x,y) интегралдық ф/я,dS- бөліктің ауданы. z=(x, y) D олысында шенелген болуы қажеттң ғана .TH:z=(x, y) D олысында үзіліссіз болса онда функция облысы интегралданады, яғни екі еселі интегралы бар. Дарбу ережесі: lim_n→∞(S-s)=0 Қасиеттері:

1.∫∫_D kfdS=k∫∫_DfdS 2.∫∫_D(f₁±f₂)dS=∫∫_D f₁dS+∫∫_D f₂dS

3. D=D₁∩D₂→∫∫_Df(x,y)dS=∫∫_D1f(x,y)dS+∫∫_D2f(x,y)dS

4.f(x,y)>0→∫∫_Df(x,y)>0 f₁≥f₂→∫∫_Df₁≥∫∫_Df₂

5.m≤f(x,y)≤M (облысында үз/сіз болса ең үлкен ең кіші мәні табылады)mS≤∫∫_Df(x,y)dS≤MSЕкі еселі интегралды бағалау

6. ∫∫_Df(x,y)dS=f(x₀,y₀)S f(x₀,y₀)=1/2∫∫_Df(x,y)dS