17. Перетворення Фур’є найпростіших сигналів

Пример 3.1.Пусть задан исходный периодический сигналs_п(t) в виде бесконечной последовательности униполярных прямоугольных импульсов (рис. 3.1).

Воспользовавшись формулами (3.4), (3.5) и проведя несложные преобразования, получим

A_n = (2U_mt_и/T_и);

_n = 0, , 2 и т.д.

Здесь использована функция sinc (x) = sin(x)/x(рис. 3.2).

Рис. 3.2

На рис. 3.3 приведено графическое представление спектра амплитуд и фаз рассмотренной последовательности прямоугольных импульсов.

Анализируя рис. 3.3, можно сделать следующие основные выводы:

1. Спектр бесконечной последовательности прямоугольных импульсов бесконечен.

2. При f = 0 имеем амплитуду постоянной составляющейA₀/2.

3. Спектральные составляющие существуют только при определенных дискретных значениях частоты, кратных f₀.

4. Амплитуда спектральных составляющих убывает с ростом частоты по закону функции sinc.

5. При частотах, кратных 1/t_иамплитуда равна нулю.

6. Фаза принимает значения 0, .

Рассмотрим как влияет изменение длительности импульсов и периода их следования на результирующий спектр.

1. Пусть T_и = const, t_и  var. Частоты гармоник не зависят отt_ии остаются постоянными. При увеличении длительности импульсов величина 1/t_и уменьшается, спектр сжимается (рис. 3.4); при уменьшении длительности импульсов спектр растягивается (рис. 3.5). Для наглядности фазы_nне показаны.

2. Пусть t_и =const,T_иvar. Очевидно, что ширина спектра не зависит отT_ии будет неизменной. Изменяется число спектральных составляющих.

Примем для определенности, что период уменьшается, тогда величина 1/T_ирастет, а число гармоник уменьшается (рис. 3.6). С ростомT_инасыщенность гармониками возрастает и в пределе приT_ирасстояние между соседними спектральными составляющими стремится к нулю и спектр становится сплошным (рис. 3.7). Попутно заметим, что приT_ипериодическая последовательность превращается в одиночный импульс (непериодический сигнал). Непериодические сигналы и их характеристики будут подробнее рассмотрены в лекции 4.

Пример 3.2. Пусть задан сигнал в виде бесконечной синусоиды с постоянной амплитудой и нулевой начальной фазой (рис. 3.8):

s(t) =U_msin (2f₀t). (3.6)

Формально сигнал вида (3.6) представить в виде разложения на элементарные математические функции невозможно, поскольку для него не выполняется условие абсолютной интегрируемости. Не вдаваясь в подробности, получим спектральное представление на основе эмпирических соображений.

Сравнивая (3.2) и (3.6) , замечаем, что бесконечная сумма ряда вырождается в единственное слагаемое b₁ sin (2f₀t), следовательноа₀=а₁= ...а_n= 0,b₂=b₃= = ...b_n= 0, лишь приn= 1,b₁=U_m.

На оси частот имеем единственную точку с ненулевой амплитудой A₁приf=f₀(рис. 3.9).

В таком случае считается, что спектр бесконечного синусоидального сигнала с постоянной амплитудой и мгновенной частотой представляет собой одну бесконечно узкую составляющую (единственную гармонику).

Примечание. На самом деле энергия сигнала, рассмотренного в примере 3.2, будет бесконечно велика, поэтому согласно закону сохранения такой же должна быть и энергия спектра. С другой стороны при бесконечной длительности синусоидального сигнала его спектральная составляющая должна иметь бесконечно малую ширину. Это невозможно для элементарных математических функций. Чтобы обойти данное противоречие в радиоэлектронике прибегают к физической абстракции – сигналу в виде -функции Дирака, обладающей бесконечной малой длительностью и бесконечно большой энергией. На рис. 3.9 приведено ее обозначение в виде стрелки с символом .

Пример 3.3.Сигнал представляет собой бесконечную последовательность гауссовых импульсов длительностьюt_и, следующих с интерваломТ_и(рис. 3.10).

При построении спектральной диаграммы учтем то обстоятельство, что гауссовому сигналу вида ₁exp(–₁t ²) в частотной области соответствует тоже гауссова функция, но отличающаяся масштабом:₂exp(–₂ f ²).

Второе эмпирическое правило, помогающее получить спектр данного сигнала, состоит в том, что при переходе от времени к частоте огибающей исходного сигнала будет соответствовать заполнение спектральной диаграммы, а заполнению сигнала – огибающая спектра.

Третье важное правило, сформулированное в примере 3.1, связывает масштаб сигнала и спектра: коротким сигналам соответствуют протяженные спектры и наоборот спектры сигналов с большой длительностью имеют малую ширину.

Таким образом, на оси частот относительно короткому гауссовому импульсу будет соответствовать относительно протяженная гауссова огибающая, а равномерной бесконечной огибающей соответствуют бесконечно короткие -функции заполнения, следующие с интерваломf₀=1/Т_и. Постоянная составляющая будет равна средней мощности сигнала.

В результате амплитудный спектр будет выглядеть так, как показано на рис. 3.11.

Пример 3.4.Рассмотрим практически важный случай бесконечной периодической последовательности прямоугольных импульсов с синусоидальным заполнением (рис. 3.12).

При построении спектральной диаграммы воспользуемся примерами 3.1, 3.2 и 3.3.

Из изложенного ранее можно сделать ряд выводов.

1. Поскольку последовательность бесконечная и периодическая, то спектральные составляющие будут представлять собой бесконечно короткие -функции следующие с интервалом по частоте равным 1/Т_и.

2. Так как импульсы прямоугольные, огибающая спектра является функцией sinc(ft_и).

3. Нули функции sinc(ft_и) находятся в точках с координатами кратными 1/t_и.

4. Поскольку заполнение синусоидальное и Т_и>>T₀, постоянная составляющая равна нулю.

5. И самое важное: центральная частота спектра не ноль, как во всех предыдущих примерах, а f_ц= 1/T₀, т.е. определяется частотой синусоидального заполнения (частотой несущей).

Полный амплитудный спектр приведен на рис. 3.13.

Анализируя рис. 3.13 можно понять механизм переноса спектра в ВЧ-область, реализуемый в процессе модуляции.

Исходный спектр НЧ-сигнала (см. пример 3.1) располагается в окрестности нуля частот.

Гармоническое заполнение приводит к смещению спектральных составляющих на величину f_ц, соответствующую частоте несущей. Структура спектра (амплитуды и фазы составляющих) при таком линейном переносе по частоте полностью сохраняется.

На этом основано использование ВЧ-несущей в радиосвязи: полезная информация, заложенная в структуру НЧ-сигнала (а следовательно и в структуру спектра) сохраняется, а сам сигнал является высокочастотным (его спектр располагается симметрично относительно частоты несущей f_ц) и будучи передан в антенну, порождает электромагнитные волны эффективно распространяющиеся в пространстве.

В заключение рассмотрим еще один пример, иллюстрирующий важное свойство спектров, – их суперпозицию.

Пример 3.5.Пусть сигнал представляет собой последовательность импульсов сложной формы (рис. 3.14). Требуется построить его спектральную диаграмму.

Для решения задачи сначала представим исходный сигнал в виде суммы двух вспомогательных сигналов (рис. 3.15):

s_п(t) =s₁(t) +s₂(t).

Поскольку вспомогательные сигналы представляют собой последовательности прямоугольных импульсов, то их спектральные диаграммы легко получить по аналогии с примером 3.1, учитывая, изменение амплитуды и длительности.

Теперь по принципу суперпозиции получим результирующую спектральную диаграмму (рис. 3.16) как сумму спектров вспомогательных сигналов.

Примечание. Для упрощения приведен только спектр амплитуд, изменение фазовых соотношений из-за смещения импульсов не учитываем.

Рис. 3.15

Рис. 3.16

На рис. 3.16 огибающая спектра сигнала s₁показана штрихпунктирной линией, огибающая спектра сигналаs₂– пунктирной линией; спектральные составляющие (гармоники) сигналаs₂изображены сплошной линией, гармоники сигналаs₁– утолщенной линией.