- •Высшая математика (краткий курс лекций)
- •§2. Ограниченные, монотонные последовательности.
- •§3. Число е.
- •§4. Понятие предела функции.
- •4.5. Бесконечно большие функции и их связь с бесконечно малыми.
- •§5. Сравнение бесконечно малых функций.
- •§6. Некоторые замечательные пределы.
- •§7. Непрерывность функции в точке.
- •§8. Точки разрыва и их классификация.
- •§9. Непрерывность функции на интервале и на отрезке.
- •Глава 4. Дифференциальное исчисление функции одной переменной
- •§1.Производная функции, ее геометрический и физический смысл.
- •§2. Основные правила дифференцирования.
- •§3. Дифференциал функции.
- •§4. Формула Тейлора. Тейлор (1685-1731) – английский математик
- •§5. Применение дифференциала к приближенным вычислениям.
- •§6. Теоремы о среднем.
- •§7. Раскрытие неопределенностей.
- •§8. Производные и дифференциалы высших порядков.
- •Глава 5. Исследование функций с помощью производной.
- •§1. Возрастание и убывание функций.
- •§2. Точки экстремума.
- •§3. Выпуклость и вогнутость кривой.Точки перегиба.
- •§4. Асимптоты.
- •§5. Схема исследования функций
- •§ 5. Применение производной в экономике
- •Свойства эластичности
- •Решение.
- •Глава 6. Функции нескольких переменных и многомерные пространства.
- •§1. Основные понятия.
- •§2. Свойства функций, заданных в евклидовом пространстве.
- •§3. Частные производные функции нескольких переменных.
- •§4. Понятие дифференцируемости функции нескольких переменных.
- •Замена факторов по функции Кобба-Дугласа.
- •Геометрический смысл полного дифференциала.
- •§5. Производная по направлению, градиент функции.
- •Пусть j- угол междуgrad uиl, тогда:
- •§6.Частные производные высших порядков.
- •§7. Экстремумы функции нескольких переменных
- •Теорема 1 (необходимый признак экстремума функции многих переменных):
- •Функция l(X) называется функцией Лагранжа.
- •Глава 7. Неопределенный интеграл
- •§1. Понятие неопределенного интеграла
- •Основные свойства неопределенного интеграла
- •§2. Таблица основных интегралов
- •§3. Простейшие правила интегрирования
- •§4. Интегрирование подстановкой (заменой переменной)
- •§5. Метод интегрирования по частям
- •§6. Интегрирование элементарных дробей.
- •§7.Интегрирование рациональных дробей.
- •§8. Интегрирование некоторых тригонометрических функций.
- •1) Интеграл вида .
- •2) Интеграл вида если
- •3) Интеграл вида если
- •4) Интеграл вида
- •5) Интеграл произведения синусов и косинусов
- •§9. Интегрирование некоторых иррациональных функций.
- •Глава 8. Определенный интеграл
- •§1. Определение определенного интеграла.
- •§2. Геометрический смысл определенного интеграла.
- •§3. Формула Ньютона-Лейбница.
- •§4. Основные свойства определенного интеграла.
- •8. Теорема Барроу. Производная определенного интеграла по переменному верхнему пределу равна подинтегральной функции в точке, равной верхнему пределу, т.Е.
- •§5. Вычисление определённого интеграла.
- •§6. Геометрическое применение определённого интеграла.
- •§7. Несобственные интегралы с бесконечными пределами (несобственные интегралы первого рода).
- •§8. Кратные интегралы.
Глава 8. Определенный интеграл
§1. Определение определенного интеграла.
Пусть функция y=f(x)определена и непрерывна на отрезке [a,b],a<b.
Выполним следующие действия:
1. Точками разобьем отрезок [a,b] наn частичных отрезков
X
a=x0 x1 x2 xi-1 xi b=xn
2. На каждом частичном отрезке выберем произвольную точкуci [xi-1; xi] и вычислим значения функцииf(сi).
3. Умножим найденные значения функции f(ci)на длину соответствующего единичного отрезкаxi = xi – xi-1. Т.е. получим произведение:f(ci)xi.
4. Просуммируем полученные произведения. Получим (1)
Полученную сумму (1) называют интегральной суммойфункцииy=f(x)на отрезке [a,b].
5. Обозначим через λ длину наибольшего частичного отрезка: λ=max{ } (i=1, 2..n).
λ - шаг разбиения.
6. Перейдем к пределу интегральной суммы (1) при (при этомn ):
(2)
Если предел (2) существует, то он называется определенным интеграломфункцииy=f(x)на отрезке [a,b] иобозначается
Определение. Определенным интегралом называется число, равное пределу интегральной суммыпри шаге разбиения 0, если этот предел не зависит ни от способа разбиения отрезка [a,b] на частичные отрезка ни от выбора внутренних точек сi.
Таким образом, согласно определению: (3). Сама функцияf(x) при этом называетсяинтегрируемой на отрезке[a,b].
Числа aи bназываются соответственнонижнимиверхним пределами интегрирования; f(x) – подинтегральной функцией; f(x)dx – подинтегральным выражением; x – переменной интегрирования; отрезок [a,b] –областью (отрезком) интегрирования.
При фиксированных пределах интегрирования aи bопределенный интеграл (3) есть постоянное число. Определение определенного интеграла при помощи схемы 1. – 6. принадлежит Римману, поэтому интеграл (3) называется риммановым. Существуют и другие конструкции интегралов. Нам они не понадобятся.
Сформулируем теорему существования определенного интеграла:
Теорема (Коши). Если функцияf(x) непрерывна на отрезке [a, b], то она интегрируема на этом отрезке, т.е. определенный интегралсуществует.
Некоторые свойства определенного интеграла, следующие непосредственно из его определения (3):
Определенный интеграл не зависит от обозначения переменной интегрирования:
Определенный интеграл с одинаковыми пределами интегрирования равен нулю:
.
Если подинтегральная функция равна единице, то определенный интеграл этой функции по отрезку [a,b] равен длине этого отрезка, т.е.:
.
§2. Геометрический смысл определенного интеграла.
Пусть на отрезке [a,b] задана непрерывная функцияy = f(x)0. Фигура, ограниченная сверху графиком функцииy = f(x), снизу – осьюОх, сбоку прямымиx = aи x = b, называетсякриволинейной трапецией.
y
y = f(x)
0 x
Найдем площадь этой трапеции S.
Если функция f(x)0 на отрезке [a,b], тогда интегральная сумма
(1) геометрически представляет собой площадь ступенчатой фигурыSn:
y
0 a c1x1 c2x2 xi-1 ci xi xn-1cn b x
Площадь криволинейной трапеции Sприближенноравна площади ступенчатой фигуры:
.
С уменьшением всех величин xiточность приближения криволинейной трапеции ступенчатой фигурой и точность полученной формулы увеличивается. Поэтому за точное значение площадиSкриволинейной трапеции принимается пределS, к которому стремится площадь ступенчатой фигурыSnпри неограниченном возрастанииn так, что 0:
.
Итак, определенный интеграл от неотрицательной функции численно равен площади криволинейной трапеции. В этом и состоит геометрический смысл определенного интеграла.