- •Высшая математика (краткий курс лекций)
- •§2. Ограниченные, монотонные последовательности.
- •§3. Число е.
- •§4. Понятие предела функции.
- •4.5. Бесконечно большие функции и их связь с бесконечно малыми.
- •§5. Сравнение бесконечно малых функций.
- •§6. Некоторые замечательные пределы.
- •§7. Непрерывность функции в точке.
- •§8. Точки разрыва и их классификация.
- •§9. Непрерывность функции на интервале и на отрезке.
- •Глава 4. Дифференциальное исчисление функции одной переменной
- •§1.Производная функции, ее геометрический и физический смысл.
- •§2. Основные правила дифференцирования.
- •§3. Дифференциал функции.
- •§4. Формула Тейлора. Тейлор (1685-1731) – английский математик
- •§5. Применение дифференциала к приближенным вычислениям.
- •§6. Теоремы о среднем.
- •§7. Раскрытие неопределенностей.
- •§8. Производные и дифференциалы высших порядков.
- •Глава 5. Исследование функций с помощью производной.
- •§1. Возрастание и убывание функций.
- •§2. Точки экстремума.
- •§3. Выпуклость и вогнутость кривой.Точки перегиба.
- •§4. Асимптоты.
- •§5. Схема исследования функций
- •§ 5. Применение производной в экономике
- •Свойства эластичности
- •Решение.
- •Глава 6. Функции нескольких переменных и многомерные пространства.
- •§1. Основные понятия.
- •§2. Свойства функций, заданных в евклидовом пространстве.
- •§3. Частные производные функции нескольких переменных.
- •§4. Понятие дифференцируемости функции нескольких переменных.
- •Замена факторов по функции Кобба-Дугласа.
- •Геометрический смысл полного дифференциала.
- •§5. Производная по направлению, градиент функции.
- •Пусть j- угол междуgrad uиl, тогда:
- •§6.Частные производные высших порядков.
- •§7. Экстремумы функции нескольких переменных
- •Теорема 1 (необходимый признак экстремума функции многих переменных):
- •Функция l(X) называется функцией Лагранжа.
- •Глава 7. Неопределенный интеграл
- •§1. Понятие неопределенного интеграла
- •Основные свойства неопределенного интеграла
- •§2. Таблица основных интегралов
- •§3. Простейшие правила интегрирования
- •§4. Интегрирование подстановкой (заменой переменной)
- •§5. Метод интегрирования по частям
- •§6. Интегрирование элементарных дробей.
- •§7.Интегрирование рациональных дробей.
- •§8. Интегрирование некоторых тригонометрических функций.
- •1) Интеграл вида .
- •2) Интеграл вида если
- •3) Интеграл вида если
- •4) Интеграл вида
- •5) Интеграл произведения синусов и косинусов
- •§9. Интегрирование некоторых иррациональных функций.
- •Глава 8. Определенный интеграл
- •§1. Определение определенного интеграла.
- •§2. Геометрический смысл определенного интеграла.
- •§3. Формула Ньютона-Лейбница.
- •§4. Основные свойства определенного интеграла.
- •8. Теорема Барроу. Производная определенного интеграла по переменному верхнему пределу равна подинтегральной функции в точке, равной верхнему пределу, т.Е.
- •§5. Вычисление определённого интеграла.
- •§6. Геометрическое применение определённого интеграла.
- •§7. Несобственные интегралы с бесконечными пределами (несобственные интегралы первого рода).
- •§8. Кратные интегралы.
Геометрический смысл полного дифференциала.
Для функции одной переменной y = f(x)в точкеx0 геометрический смысл дифференциала означает приращение ординаты касательной, проведенной к графику функции в точке с абсциссойx0при переходе к точкеx0 + Dx. А дифференциал функции двух переменных в этом плане является приращениемаппликатыкасательнойплоскости, проведенной к поверхности, заданной уравнениемz = f(x,y), в точкеM0(x0, y0) при переходе к точкеM(x0 + Dx, y0 + Dy).Дадим определение касательной плоскости к некоторой поверхности:
Определение.Плоскость, проходящая через точкуР0поверхностиS, называетсякасательной плоскостью в данной точке, если угол между этой плоскостью и секущей, проходящей через две точкиР0иР(любая точка поверхностиS), стремится к нулю, когда точкаРстремится по этой поверхности к точкеР0.
Пусть поверхность Sзадана уравнениемz = f(x,y).Тогда можно показать, что эта поверхность имеет в точкеP0(x0, y0, z0)касательную плоскость тогда и только тогда, если функцияz = f(x,y)дифференцируема в этой точке. В этом случае касательная плоскость задается уравнением:
z – z0 = + (6).
Следовательно, приращение Dzаппликаты касательной плоскости определяется формулой:
Dz = + , что совпадает с формулой полного дифференциала функции двух переменных.
§5. Производная по направлению, градиент функции.
Частные производные функции y=f(x1,x2..xn)по переменнымx1, x2 . . . xn выражают скорость изменения функции по направлению координатных осей. Например,есть скорость изменения функции пох1 – то есть предполагается , что точка, принадлежащая области определения функции, перемещается лишь параллельно осиОХ1, а все остальные координаты остаются неизменными. Однако, можно предположить, что функция может изменяться и по какому-нибудь другому направлению, не совпадающему с направлением какой либо из осей.
Рассмотрим функцию трех переменных: u=f(x,y,z).
Зафиксируем точку М0(x0,y0,z0)и какую-нибудь направленную прямую (ось)l, проходящую через эту точку. ПустьМ(x,y,z) - произвольная точка этой прямой иêМ0Мê- расстояние отМ0доМ.
Du = f (x,y,z) – f(x0,y0,z0)– приращение функции в точкеМ0.
Найдем отношение приращения функции к длине вектора :
Определение.Производной функцииu = f (x,y,z)по направлениюl в точкеМ0называется предел отношения приращения функции к длине вектораêМ0Мêпри стремлении последнего к 0 (или, что одно и то же, при неограниченном приближенииМкМ0):
(1)
Эта производная характеризует скорость изменения функции в точке М0в направленииl.
Пусть ось l (векторМ0М) образует с осямиOX, OY, OZуглысоответственно.
Обозначим x-x0= ;
y-y0 = ;
z-z0 = .
Тогда вектор М0М = (x - x0, y - y0, z - z0)= и его направляющие косинусы:
;
;
.
Отсюда получаем следующие выражения для Dx, Dy, Dz:
(2)
Полное приращение функции в точкеМ0:
можно представить в виде:
(3), где
Подставим выражения (2) в (3):
Найдем отношение :
Перейдем к пределу при êМ0М ê® 0:
(4).
(4) – формула для вычисления производной по направлению.
Конечно, направление может быть задано просто соответствующим вектором. Рассмотрим вектор, координатами которого являются частные производные функции u=f(x, y, z)в точкеМ0:
grad u - градиент функцииu=f(x, y, z)в точке М(x, y, z)
Рассмотрим единичный вектор по направлению l - - это вектор, длина которого равна 1,а направление совпадает с направлением осиl.
Тогда производная функции u=f(x, y, z) по направлениюlможет быть представлена как скалярное произведение():
.
Следовательно, производная функции u=f(x, y, z)по данному направлениюlесть скалярное произведение градиента функции на единичный вектор этого направления.