- •Высшая математика (краткий курс лекций)
- •§2. Ограниченные, монотонные последовательности.
- •§3. Число е.
- •§4. Понятие предела функции.
- •4.5. Бесконечно большие функции и их связь с бесконечно малыми.
- •§5. Сравнение бесконечно малых функций.
- •§6. Некоторые замечательные пределы.
- •§7. Непрерывность функции в точке.
- •§8. Точки разрыва и их классификация.
- •§9. Непрерывность функции на интервале и на отрезке.
- •Глава 4. Дифференциальное исчисление функции одной переменной
- •§1.Производная функции, ее геометрический и физический смысл.
- •§2. Основные правила дифференцирования.
- •§3. Дифференциал функции.
- •§4. Формула Тейлора. Тейлор (1685-1731) – английский математик
- •§5. Применение дифференциала к приближенным вычислениям.
- •§6. Теоремы о среднем.
- •§7. Раскрытие неопределенностей.
- •§8. Производные и дифференциалы высших порядков.
- •Глава 5. Исследование функций с помощью производной.
- •§1. Возрастание и убывание функций.
- •§2. Точки экстремума.
- •§3. Выпуклость и вогнутость кривой.Точки перегиба.
- •§4. Асимптоты.
- •§5. Схема исследования функций
- •§ 5. Применение производной в экономике
- •Свойства эластичности
- •Решение.
- •Глава 6. Функции нескольких переменных и многомерные пространства.
- •§1. Основные понятия.
- •§2. Свойства функций, заданных в евклидовом пространстве.
- •§3. Частные производные функции нескольких переменных.
- •§4. Понятие дифференцируемости функции нескольких переменных.
- •Замена факторов по функции Кобба-Дугласа.
- •Геометрический смысл полного дифференциала.
- •§5. Производная по направлению, градиент функции.
- •Пусть j- угол междуgrad uиl, тогда:
- •§6.Частные производные высших порядков.
- •§7. Экстремумы функции нескольких переменных
- •Теорема 1 (необходимый признак экстремума функции многих переменных):
- •Функция l(X) называется функцией Лагранжа.
- •Глава 7. Неопределенный интеграл
- •§1. Понятие неопределенного интеграла
- •Основные свойства неопределенного интеграла
- •§2. Таблица основных интегралов
- •§3. Простейшие правила интегрирования
- •§4. Интегрирование подстановкой (заменой переменной)
- •§5. Метод интегрирования по частям
- •§6. Интегрирование элементарных дробей.
- •§7.Интегрирование рациональных дробей.
- •§8. Интегрирование некоторых тригонометрических функций.
- •1) Интеграл вида .
- •2) Интеграл вида если
- •3) Интеграл вида если
- •4) Интеграл вида
- •5) Интеграл произведения синусов и косинусов
- •§9. Интегрирование некоторых иррациональных функций.
- •Глава 8. Определенный интеграл
- •§1. Определение определенного интеграла.
- •§2. Геометрический смысл определенного интеграла.
- •§3. Формула Ньютона-Лейбница.
- •§4. Основные свойства определенного интеграла.
- •8. Теорема Барроу. Производная определенного интеграла по переменному верхнему пределу равна подинтегральной функции в точке, равной верхнему пределу, т.Е.
- •§5. Вычисление определённого интеграла.
- •§6. Геометрическое применение определённого интеграла.
- •§7. Несобственные интегралы с бесконечными пределами (несобственные интегралы первого рода).
- •§8. Кратные интегралы.
§3. Частные производные функции нескольких переменных.
Пусть функция y = f(x1, x2, . . . , xn)(y = f(X))определена в некоторой окрестности точкиM(x1, x2, . . . , xn) = M(X)и в этой точке функция имеет значениеf(M).
Дадим первому аргументу х1приращениеDх1, а другие переменные останутся неизменными. При этом получаем «новую» точкуМ1(х1+Dх1, х2, . . . , хn), которая принадлежит указанной окрестности точкиМ, и значение функции в этой точкеf(M1).
Тогда соответствующее приращение функции называется частным приращениемфункцииy = f(X)по переменнойх1:
Dх1y = f(M1) – f(M) = f(х1+Dх1, х2, . . . , хn) - f(x1, x2, . . . , xn) (1).
Аналогично можно определить частные приращения функции y = f(X)в точкеМ, соответствующие приращениюDхiлюбого изnаргументовxi, i = 1,2,…n:
Пусть точка Мi(x1, x2, . . . , xi+Dxi, . . . , xn) принадлежит указанной окрестности точкиМи значение функции в этой точкеf(Mi), тогда частное приращение этой функции по аргументуxi:
Dхiy = f(Mi) – f(M) = f(x1, x2, . . . , xi+Dxi, . . . , xn) - f(x1, x2, . . . , xn) (2).
Рассмотрим в данной точке M(x1, x2, . . . , xn) = M(X)отношение частного приращенияDхiyк соответствующему приращению i–ого аргумента -Dхi:
(3).
Определение.Если существуетпределотношения частного приращения функцииDхiyв точкеМ к соответствующему приращению аргументаDхiприDхi ® 0, то он называется частной производной функцииy = f(X)в точкеМ(Х)по аргументуxiи обозначается:.
Таким образом, согласно определению:.
Частная производная функции y = f(X)по аргументуxiв точкеМ0(x10, x20, . . . , xn0)обозначается:или.
Т.о., частная производная функции y = f(X)по аргументуxiесть производная функции по этой переменной при условии, что остальные независимые переменные не изменяют своего значения, т.е.постоянны.Поэтому частные производные функцииy = f(X)находят по формулам и правилам вычисления производных функции одной переменной, при этом соответственно другие переменные считаютсяconst.
Примеры. Найти частные производные функций:
z = x2 – 2xy + y2
________________________________ ________________________________
z = arctq(y/x)
________________________________________________________________________
u = yeyz + ln(x2 – 2y + z)
Замечание.Частная производная функции нескольких переменных характеризует скорость ее изменения по данному аргументу при фиксированном значении других аргументов.
Найти скорости изменения объема продукции Qпри изменениях одного из факторов: затрат капиталаK или величины трудовых ресурсовLпо функции Кобба-ДугласаQ = AKaL1-a.
_____________________________________________________
_____________________________________________________
Величину K/Lназывают средней фондовооруженностью – это стоимость фондов (капитала), приходящаяся в среднем на единицу трудовых ресурсов.
- производная выпуска по труду приближенно равна добавочной стоимости продукции, произведенной еще одной дополнительной трудовой единицей, поэтому частная производная называетсяпредельной производительностью труда.
- производная выпуска по фондам приближенно равна добавочной стоимости продукции, произведенной еще одной дополнительной единицей фондов, поэтому ее называют предельной фондоотдачей.
Найдем частные эластичности функции Кобба-Дугласа:
Эластичность выпуска по фондам
Эластичность выпуска по труду
________________________________________________________________________
Т.о. степени a и1-aимеют экономический смысл – это эластичности выпуска по фондам и по труду соответственно.