- •Высшая математика (краткий курс лекций)
- •§2. Ограниченные, монотонные последовательности.
- •§3. Число е.
- •§4. Понятие предела функции.
- •4.5. Бесконечно большие функции и их связь с бесконечно малыми.
- •§5. Сравнение бесконечно малых функций.
- •§6. Некоторые замечательные пределы.
- •§7. Непрерывность функции в точке.
- •§8. Точки разрыва и их классификация.
- •§9. Непрерывность функции на интервале и на отрезке.
- •Глава 4. Дифференциальное исчисление функции одной переменной
- •§1.Производная функции, ее геометрический и физический смысл.
- •§2. Основные правила дифференцирования.
- •§3. Дифференциал функции.
- •§4. Формула Тейлора. Тейлор (1685-1731) – английский математик
- •§5. Применение дифференциала к приближенным вычислениям.
- •§6. Теоремы о среднем.
- •§7. Раскрытие неопределенностей.
- •§8. Производные и дифференциалы высших порядков.
- •Глава 5. Исследование функций с помощью производной.
- •§1. Возрастание и убывание функций.
- •§2. Точки экстремума.
- •§3. Выпуклость и вогнутость кривой.Точки перегиба.
- •§4. Асимптоты.
- •§5. Схема исследования функций
- •§ 5. Применение производной в экономике
- •Свойства эластичности
- •Решение.
- •Глава 6. Функции нескольких переменных и многомерные пространства.
- •§1. Основные понятия.
- •§2. Свойства функций, заданных в евклидовом пространстве.
- •§3. Частные производные функции нескольких переменных.
- •§4. Понятие дифференцируемости функции нескольких переменных.
- •Замена факторов по функции Кобба-Дугласа.
- •Геометрический смысл полного дифференциала.
- •§5. Производная по направлению, градиент функции.
- •Пусть j- угол междуgrad uиl, тогда:
- •§6.Частные производные высших порядков.
- •§7. Экстремумы функции нескольких переменных
- •Теорема 1 (необходимый признак экстремума функции многих переменных):
- •Функция l(X) называется функцией Лагранжа.
- •Глава 7. Неопределенный интеграл
- •§1. Понятие неопределенного интеграла
- •Основные свойства неопределенного интеграла
- •§2. Таблица основных интегралов
- •§3. Простейшие правила интегрирования
- •§4. Интегрирование подстановкой (заменой переменной)
- •§5. Метод интегрирования по частям
- •§6. Интегрирование элементарных дробей.
- •§7.Интегрирование рациональных дробей.
- •§8. Интегрирование некоторых тригонометрических функций.
- •1) Интеграл вида .
- •2) Интеграл вида если
- •3) Интеграл вида если
- •4) Интеграл вида
- •5) Интеграл произведения синусов и косинусов
- •§9. Интегрирование некоторых иррациональных функций.
- •Глава 8. Определенный интеграл
- •§1. Определение определенного интеграла.
- •§2. Геометрический смысл определенного интеграла.
- •§3. Формула Ньютона-Лейбница.
- •§4. Основные свойства определенного интеграла.
- •8. Теорема Барроу. Производная определенного интеграла по переменному верхнему пределу равна подинтегральной функции в точке, равной верхнему пределу, т.Е.
- •§5. Вычисление определённого интеграла.
- •§6. Геометрическое применение определённого интеграла.
- •§7. Несобственные интегралы с бесконечными пределами (несобственные интегралы первого рода).
- •§8. Кратные интегралы.
Основные свойства неопределенного интеграла
1) ,т.е. производная от неопределенного интеграла равна подинтегральной функции.
Действительно:
2) , т.е. дифференциал от неопределенного интеграла равен подинтегральному выражению.
Действительно:
3) , т.е. неопределенный интеграл от дифференциала функции равен самой этой функции в сумме с некоторой произвольной константой С.
Действительно:
§2. Таблица основных интегралов
Составим таблицу основных интегралов, используя таблицу производных основных элементов функции и учитывая, что:.
Интегралы с 1 по 16 называются табличными. Их надо знать наизусть.
§3. Простейшие правила интегрирования
Докажем основные правила интегрирования:
Постоянный множитель можно выносить за знак интеграла:
2. Неопределенный интеграл от алгебраической суммы конечного числа функций равен алгебраической сумме их интегралов:
3. 3.Инвариантность формулы интеграла.
Если - произвольная дифференцируемая функция отx.
Доказательство:
Пусть х – независимая переменная,
f(x)– непрерывная функция,
F(x) – её первообразная.
Тогда .
Пусть теперь , где- непрерывная дифференцируемая функция.
Рассмотрим сложную функцию F(u)=
В силу инвариантности формы дифференциала, имеем:
’(u)du =f(u)du
Отсюда, (по свойству 3).
Т.о. формула неопределенного интеграла остаётся справедливой независимо от того, является ли переменная интегрирования независимой или она является функцией от х.
Пользуясь таблицей основных интегралов и правилами интегрирования можно вычислять многие неопределенные интегралы. Этот способ обычно называют непосредственным интегрированием.
Примеры:
При непосредственном интегрировании часто требуется свести данный интеграл к табличному, используя свойства инвариантности формулы интеграла. Эту операцию часто называют «подведение под знак дифференциала», при этом полезно запомнить следующие преобразования дифференциала:
Вообще, f’(x)dx=d(f(x))- эта формула очень часто используется при вычислении интегралов.
Несколько важных примеров - «неполный квадратный трехчлен (или квадратный двучлен) в знаменателе»:
I)
II)
III)IIIV)
§4. Интегрирование подстановкой (заменой переменной)
Если интеграл непосредственно не вычисляется, то во многих случаях применяют метод интегрирования заменой переменной, заключающийся во введении новой переменной интегрирования (подстановки). При этом заданный интеграл приводится к другому интегралу, который является табличным или к нему сводится (в случае удачной подстановки). Общих методов подбора подстановки не существует. Умение правильно определить подстановку приобретается практикой.
Пусть требуется вычислить интеграл . Сделаем подстановкуx=φ(t), гдеφ(t)- непрерывная дифференцируемая функция. Тогдаи на основании свойства инвариантности формулы неопределенного интеграла получаем:
Т.е. (1) - формула замены переменных в неопределенном интеграле.
После нахождения интеграла правой части этого равенства следует перейти от новой переменной интегрирования t назад к переменнойx.
Иногда удобно подбирать подстановку в виде , тогда, где.
Т.е. формулу (1)можно применять справа налево.
Примеры:
1)
2)
3)
Интегрирование выражений, содержащих квадратный трехчлен в знаменателе.
Рассмотрим интегралы:
I)иII)
Для вычисления этих интегралов выполняем следующие действия:
1) выписываем квадратный трехчлен и выражаем из него полный квадрат.
2) произведем замену переменной и получим квадратный двучлен в знаменателе, т.е. сведем интеграл к одному из 4-ех примеров из §3.
Примеры:
1)
2)