Свойства эластичности

1. Эластичность взаимообратных функции – есть взаимообратные функции:

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Например, эластичность величины спроса по цене обратна эластичности цены по величине спроса:

E_p^D = 1/E_D^p

2. Эластичность произведения двух функций U(x)иV(x) равна сумме эластичностей:

Е_х^UV = E_x^U + E_x^V

Доказательство:

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . .. . . . .. . . .. .. . . .

3. Эластичность частного функций U(х)иV(х)равна разности эластичностей

Е_х^U/V = E_x^U - E_x^V

Доказательство:

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . .. . . . .. . . .. .. . . .

4. Для сложной функции у=f(u), где u= u(х) эластичность функцииупохнаходится по формуле:

Е_х^y = E_u^y ּ E_x^u

Доказательство:

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . .. . . . .. . . .. .. . . .

Эластичность элементарных функций:

1. у=С=const E_x^C = =0.

2. у=а_х +вE_x^y=

3. у=х^αE_x^y=

4. у=а^хE_x^y =

5.3 Эластичность спроса и предложения

Пусть D=D(р) – функция спроса от цены товарар. Тогда под эластичностью спроса понимается относительное изменение спроса при изменении цены товара на 1%:

E_p^D= . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . .. . . . . (2).

Аналогичное понятие можно ввести и для функции предложения S(р). Заметим, что функцияD(р) убывает, а функцияS(р)– возрастает с ростомр. ПосколькуD(р) убывающая функция, тоD´( р) <0 и тогда Е_p^D< 0. Различают три вида спроса в зависимости от величины|Е_p^D |:

1. если |Е_p^D | > 1 (Е_p^D < -1),то считается эластичным;

2. если |Е_p^D | = 1 (Е_p^D = -1), то спрос нейтрален;

3. если |Е_p^D | < 1 (Е_p^D > -1), то спрос неэластичен.

Пример №1.

Пусть D(р)= D₀e^-kp, гдеD₀>0иk >0 - известные величины.

Найти,при каких значениях ценыpспрос будет эластичным.

Решение.

Найдём E_p^D - ?

E_p^D = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Для того чтобы спрос был эластичным, составим неравенство:

|Е_p^D | > 1 → |-2kp² | > 1

2kp² >1

p² >

|p|> , т.к.p>0, тоp >

Пример №2.

Найти изменение выручки с увеличением цены товара при разных эластичностях спроса.

Выручка Rот продажи какого-либо товара вычисляется по формуле:

R(p) = pD(p), гдеp – цена товара,

D(p)– функция спроса.

Найдём эластичность: E_p^R = E_p^pD(p) = E_p^p + E_p^D, т.к.E_p^D < 0, то

E_p^R = 1 - |Е_p^D |(3).

Проанализируем все варианты эластичности выручки:

с учётом формулы (3)

• если спрос эластичен, т. е. |Е_p^D | >1, то эластичность выручкиE_p^R<0. Т.о., при эластичном спросе повышение цены ведёт к снижению выручки, а снижение цены увеличивает выручку.

• если спрос нейтрален, т. е. |Е_p^D |=1, тоE_p^R=0, т. е. при нейтральном спросе изменение цены на товар не влияет на выручку.

• если спрос неэластичен, т. е. |Е_p^D |<1, тоE_p^R>0,т.е. при неэластичном спросе повышение цены на товар приводит к росту выручки.

Пример №3.

Пусть зависимость между себестоимостью продукции Sи объёмом её производстваQвыражается формулой :S= 50-0,4Q.

Треб-ся определить эластичность себестоимости при выпуске продукции Q=40 (ден. ед.).

Решение:

Запишем E_Q^S = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . .. . . .

Подставим Q=40E_Q=40^s = … . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

т. е. при данном объёме выпуска Q увеличение его на 1% приведёт к снижению себестоимости ≈ на 0,5%

5.4 Максимизация прибыли

Пусть Q – количество реализованного товара, R(Q) – функция дохода,С(Q)– функция затрат на производство товара. В реальности вид этих функций зависит от способа производства, организации инфраструктуры и т. п. Прибыль от реализации произведенного товара

П(Q) = R(Q) – C(Q) (4)

В микроэкономике известно утверждение: для того чтобы прибыль была максимальна необходимо, чтобы предельный доход был равен предельным издержкам, то есть R^/(Q) = C^/(Q)(5).

Действительно, из необходимого условия экстремума для функции (4), следует, что П^/(Q) =0, откуда и получается основной принцип (5).

Пример

Пусть R(Q) = 100Q–Q²;C(Q) =Q³– 37Q²+ 169Q+ 4000.

Тогда прибыль определяется формулой:

П(Q) = 100Q–Q²–Q³+ 37Q²– 169Q– 4000;

П(Q) = –Q³+ 36Q²– 69Q– 4000.

Приравнивая производную к нулю, получаем уравнение:

-3Q²+ 72Q– 69 = 0;

Q²– 24Q+ 23 = 0.

Корни: Q₁= 1

Q₂ = 2

Проверка показывает, что П_max= 1290:

П(1)=-1+36-69-4000=-40034

П(23)=-23³ +36ּ23²- 69ּ23-4000=-12167+19044-1587-4000=1290

Оптимизация налогообложения предприятий.

Пусть n– налог с единицы выпускаемой продукции. Тогда общий налогcQединиц продукции составляетN=nQ. В этом случае функция прибыли будет иметь вид:

П(Q) =R(Q) –C(Q) –nQ(6)

Вопрос: каким должен быть налог n, чтобы величина суммарного налогаNсо всей продукции была наибольшей?

Пример

Пусть R(Q)= 16Q - Q², C(Q)= Q² + 1, тогда

П(Q) = 16Q - 2 Q² – 1 - nQ

Найдём значение Q- максимальную прибыль, т. е. решим уравнениеП´(Q) = 0

16 - 4Q - n=0

16 – n = 4Q => Q_opt= 4 - n/4

Полученное значение объёма Q_opt подставим в величину суммарного налога

N = nQ = n(4 - n/4)

и найдём значение n, при которойNбудет максимально, т. е.N´=0

(4n - n²/4)´ = 0

4 - n/2 = 0 => n=8

Ответ: приQ_opt = 2 (Q_opt= 4-8/4), значение максимальной прибылиП_max= 7, а оптимальный сбор налога (с точки зрения налогового закона)Т _opt = 16 (= 8ּ2).

Интересно, что при отсутствии налогообложения при n = 0, решение задачи на максимизацию прибыли даёт следующие результаты:Q_opt= 4,П_max = 31.

Следовательно, уменьшение налогообложения стимулирует рост выпуска продукции и приводит к увеличению прибыли от её реализации, потому производители прикладывают все усилия, чтобы снизить ставку налога.