Пусть j- угол междуgrad uиl, тогда:

(5).

Производная функцииu=f(x, y, z)по направлениюlравна проекции вектораgrad uна осьl.

Свойства градиента:

1. Производная функции u=f(x, y, z)в данной точке М(x, y, z)по направлениюlимеет наибольшее значение, если направлениеlсовпадает с направлением градиента функции в этой точке.

2. Наибольшее значение производной функции u=f(x, y, z)по заданному направлению в данной точкеМ(x, y, z) равно длине градиента функции в этой точке:.

Вывод: длина градиента функцииu=f(x, y, z) – есть наиболее возможное значениев данной точкеМ(x, y, z), а направление вектораgrad uсовпадает с направлением вектора, выходящего из точкиМ, вдоль которого функция меняется быстрее всего. То есть, направление градиента функции grad u - есть направление наискорейшего возрастания функции.

§6.Частные производные высших порядков.

Частные производные ,i = 1,2, . . . ,nназываютчастными производными первого порядка.Их можно рассматривать как функции отX=(x₁,x₂,. . . x_n). Эти функции могут иметь частные производные, которые называютсячастными производными второго порядка. Они определяются и обозначаются следующим образом:

(1),

где i = 1, 2, . . . , n иk = 1, 2, . . . , n.

Если i ¹ k, то частная производная (1) называетсясмешанной частной производной второго порядка. Еслиi = k, то частная производная второго порядка обозначается следующим образом:

(2).

Аналогично определяются частные производные третьего, четвертого и т.д. порядков.

Функция y = f (x₁,x₂…x_n)называетсяm раз дифференцируемой в точкеМ₀(x₁⁰, x₂⁰. . . ,x_n⁰),если все её частные производные(m-1)-го порядка являются дифференцируемыми функциями в этой точке.

Пример:

Найти частные производные второго порядка функции: z= x³ - x²y³ + x + y⁴.

z^’_x = 3x² - 2xy³ + 1; z^’_y= - x²3y² + 4y³ ;

z^’_xx = 6x - 2y³ ; z^’’_yx = - 2x3y² = - 6xy² ;

z^’’_xy= - 2x3y² = - 6xy² ; z^’’_yy= -x²6y +12y².

Оказалось, что z^’’_xy = z^’’_yx. Это не случайно.

Имеет место следующая теорема (без доказательства).

Теорема Шварца

Если функция y = f (X) дифференцируема m раз в точке M (x₁, x₂ .. x_n), то смешанные производные m- го порядка в этой точке, отличающиеся лишь порядком дифференцирования, равны между собой.

В частности, для функции z = f (x,y)имеем.

§7. Экстремумы функции нескольких переменных

п.1 Определение и необходимые условия локального экстремума

Пусть функция y = f (X)определена на некотором множестве, аM₀ (x₁⁰,x₂⁰ .. x_n⁰)– некоторая точка этого множества.

Определение. Функция y = f(X) имеет в точке М₀ локальный максимум (минимум), если существует такая окрестность точки М₀ ,что для любой точки М(x₁,x₂ .. x_n) из этой окрестности выполняется неравенство .

Так же, как и в случае функции одной переменной,точка М₀ называется критической точкой функцииy = f(X), если все частные производные функции в этой точке равны нулю или какая-нибудь из них не существует.Точка М₀ называется стационарной точкойфункции, если она есть внутренняя точка области определения и все частные производные функции в этой точке равны нулю.