30
Уточним размеры кольцевого сечения по условию жесткости.
Максимальный относительный угол закручивания вала θmax = |
M кmax |
≤[θ], |
|
|||||
G J p |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
||
где G = 8 104 МПа – модуль упругости при сдвиге. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
π D4 |
|
d 4 |
|
|||
Полярный момент инерции кольцевого сечения |
J p = |
|
|
− |
|
|
|
|
|
1 |
|
. |
|||||
|
|
32 |
|
|
D |
|
||
Требуемый диаметр вала D ≥ |
32 M кmax |
. |
|||||
|
d |
4 |
|
||||
4 |
|
|
|||||
|
π 1 |
− |
|
|
|
G[θ] |
|
|
|
|
|
||||
|
|
D |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|||
Вычисления дают D = 0,061 м, внутренний диаметр d = 0,0366 м. Полярный момент инерции выбранного кольцевого сечения составит
Jр = 1,18 10−6 м2.
Рассчитываем угол закручивания каждого участка:
I участок ϕ1 = |
|
M |
1 |
l |
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
−1,2 103 1,1 |
|
|
|
= − 1,39 10−2 |
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
рад. |
||||||||||||||||||||||
|
G |
|
|
|
|
|
|
8 1010 1,18 10−6 |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
J p |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
II участок ϕ2 = |
M |
2 |
l |
2 |
|
= |
|
|
|
|
0,1 103 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
= 0,11 10−2 |
рад. |
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
10 |
|
|
|
|
−6 |
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
G J p |
|
|
|
|
|
|
|
8 |
|
|
10 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
10 1,18 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
III участок ϕ3 |
= |
|
M |
3 |
l |
3 |
= |
|
|
|
1,6 103 1,4 |
|
|
|
|
|
|
|
= 2,37 10−2 |
рад. |
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
10 |
|
|
|
|
|
−6 |
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
G J p |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
8 10 1,18 10 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
IV участок ϕ4 |
= |
|
M |
4 |
l |
4 |
|
|
= |
|
|
−0,4 10 |
3 1,5 |
|
= - 0,64 10−2 рад. |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
G J p |
|
|
|
10 |
|
|
|
|
|
|
−6 |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
8 10 1,18 10 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
Строим эпюру углов закручивания (рис. 20). |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
I |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
II |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
III |
|
IV |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1,09 |
|
|
|
|
|
|
0,42 |
|
|
ϕ, 10-2 ðàä |
|||||||||
|
|
|
ϕ1 |
1,39ϕ1+ϕ2 |
|
|
|
|
|
|
1,28 |
|
|
|
|
ϕ1+ϕ2+ϕ3+ϕ4 |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ϕ1+ϕ2+ϕ3 |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Рис. 20. Эпюра углов закручивания вала кольцевого сечения
ЗАДАЧА № 6. РАСЧЕТ СТАТИЧЕСКИ ОПРЕДЕЛИМЫХ БАЛОК
Требуется: для заданных двух схем балок (консольная балка и балка на двух шарнирных опорах) построить эпюры поперечных сил и изгибающих моментов и подобрать по условиям прочности размеры поперечных сечений.
31
Условия задания:
Балки загружены сосредоточенными силами (Р), распределенными нагрузками (q) и изгибающими моментами (М). Расчетные схемы балок представлены на рис. 21, числовые данные указаны в табл. 6. Материал двутавровой балки – сталь [σ] = 160 МПа, материал балки прямоугольного сечения – дерево [σ] = 12 МПа, [τ] = 1,5 МПа.
Последовательность выполнения задания:
1.Вычертить расчетную схему балки с заданными нагрузками, соблюдая масштаб размеров по длине. Проставить числовые значения размеров
инагрузок. Вычислить величину реакций. Установить число участков.
2.Построить эпюры поперечных сил (Qy) и изгибающих моментов (Mх) с указанием размерности на границах участков и в сечениях, где Qy и Mх имеют экстремальные значения.
3.Для каждой из 2−х балок по допускаемым напряжениям [σ] подобрать размеры одного из следующих профилей поперечного сечения: для
балки с самым большим значением наибольшего изгибающего момента Mх – двутавровый профиль; для другой балки – профиль прямоугольника с соотношением ширины к высоте b/h = 2/3.
4.Произвести проверку поперечного сечения деревянной балки по касательным напряжениям.
Размеры двутаврового профиля следует выбирать из таблиц сортамента.
5.Начертить профиль поперечного сечения и проставить размеры.
|
q |
M |
M |
q |
а) P1 |
a |
b |
а) |
P2 |
|
d |
a |
|
q |
P1 |
M |
|
P2 |
q |
M |
P1 |
б) |
|
|
P2 |
|
|
|
||
|
|
|
|
б) |
|
|
|
|
c |
a |
|
b |
d |
c |
|
a |
d |
|
|
Схема 0 |
|
|
Схема 1 |
|
||
|
|
|
Рис. 21. Расчетные схемы к задаче № 6 |
|
|
|
||
|
q |
|
M |
а) |
|
|
|
P1 |
a |
|
b |
|
|
||
P1 |
P2 |
|
q |
б) |
|
|
|
c |
a |
b |
d |
|
Схема 2 |
|
|
|
2q |
M |
|
а) |
a |
|
P1 |
|
|
d |
|
P1 |
q P2 |
|
M |
б) |
|
|
|
c |
a |
b |
d |
|
Схема 4 |
|
|
|
q |
M |
|
а) |
|
|
d P1 |
|
a |
|
|
M q
б)
P2 c |
a |
b |
d |
Схема 6
32
|
|
M |
|
|
q |
а) |
P2 d |
|
|
|
|
|
|
a |
|
||
|
P1 |
|
|
P2 |
q |
б) |
|
|
|
|
M |
|
|
|
|
|
|
|
c |
|
a |
b |
d |
|
|
|
|
Схема 3 |
|
|
|
2q |
M |
|
|
а) |
P1 |
|
|
|
|
|
a |
|
|
d |
|
|
|
|
|
||
P1 M P2 q
б)
c |
a |
|
b |
|
|
|
Схема 5 |
|
|
|
2q |
M |
|
|
а) |
a |
|
d |
P1 |
|
|
|||
M |
P1 |
q |
|
|
|
|
|
|
|
б) |
|
|
P2 |
|
|
c |
a |
d |
|
|
|
|||
|
|
Схема 7 |
|
|
Рис. 21. Расчетные схемы к задаче № 6 (продолжение)
33
q |
|
|
M |
M |
|
|
2q |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
а) |
|
P1 |
|
а) |
|
P1 |
|
|
|
d |
|
d |
a |
|
|||
a |
|
|
|
|
|
|||
q |
P1 |
M |
q |
P2 |
M |
|
q |
|
б) |
|
|
|
б) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
c |
a |
b |
d |
c |
|
a |
b |
d |
|
Схема 8 |
|
|
|
Схема 9 |
|
||
Рис. 21. Расчетные схемы к задаче № 6 (окончание)
Таблица 6
Числовые данные к задаче № 6
№ схемы |
№ |
Р1, |
Р2, |
q, |
М, |
№ |
а, м |
b, м |
с, м |
d, м |
|
|
кН |
кН |
кН/м |
кН м |
|
|
|
|
|
1 |
10 |
10 |
10 |
14 |
12 |
100 |
2,0 |
2,0 |
0,6 |
1,0 |
2 |
20 |
12 |
12 |
12 |
16 |
200 |
2,2 |
2,4 |
0,8 |
0,8 |
3 |
30 |
14 |
14 |
10 |
20 |
300 |
2,4 |
2,8 |
0,4 |
0,6 |
4 |
40 |
6 |
10 |
12 |
20 |
400 |
2,6 |
3,0 |
0,6 |
0,5 |
5 |
50 |
8 |
8 |
18 |
22 |
500 |
2,8 |
2,8 |
0,8 |
0,4 |
6 |
60 |
10 |
12 |
10 |
24 |
600 |
2,6 |
2,6 |
0,7 |
0,5 |
7 |
70 |
18 |
18 |
14 |
22 |
700 |
2,0 |
2,0 |
0,5 |
0,7 |
8 |
80 |
15 |
15 |
15 |
16 |
800 |
2,4 |
2,4 |
1,0 |
0,9 |
9 |
90 |
18 |
16 |
16 |
18 |
900 |
2,2 |
2,2 |
0,9 |
1,0 |
0 |
00 |
10 |
10 |
14 |
24 |
000 |
3,0 |
3,0 |
0,8 |
1,2 |
Пример решения задачи № 6
Рассмотрим две балки – консольную балку и балку на двух опорах. Для консольной балки (рис. 22) опорные реакции в заделке не вычисляются, т. к. построение эпюр начинается со свободного конца балки.
Первый участок 0 ≤ z1 ≤ 4 м.
Поперечная сила:
Q1 = −P + q z1 ,
при z1 |
= 0 |
Q1 = − 30 кН, |
|
при z1 |
= 4 |
м Q1 = 10 |
кН; |
при z1 |
= z0 = Р/q = 3 |
м Q1 = 0. |
|
34
Ì=30 êÍ ì
ÌÀ RA |
|
q=10 êÍ/ì |
|
|
|
|
|
z2 |
|
|
z |
|
|
|
1 |
2 ì |
|
4 ì |
Ð=30 êÍ |
Qy |
10 |
|
z0 = 3 ì |
|
|
||
45
40
30 Mõ 10 
10
Изгибающий момент:
M1 = P z1 |
− |
q z2 |
|||
1 |
, |
||||
2 |
|||||
при z1 |
|
|
|
||
= 0 |
М1 = 0, |
||||
при z1 |
= 4 |
м М1 = 40 кН м; |
|||
при z0 |
= Р/q = 3 м |
||||
М1 = Mmax = 45 кН м.
Эпюра изгибающего момента на первом участке имеет форму квадратичной параболы, выпуклость которой направлена навстречу q.
Второй участок 0 ≤ z2 ≤ 2 м. Поперечная сила:
Q2 = −P + q 4 = 10 кН.
Рис. 22. Консольная балка
Изгибающий момент:
M 2 = P (4 + z2 ) − M − q 4 (2 + z2 ) ,
при z2 = 0 М2 = 10 кН м,
при z2 = 2 м М2 = − 10 кН м. Расчетная схема балки на двух опорах представлена на рис. 23.
Определение реакций в опорах осуществляется через уравнения статики:
∑mA = 0, ∑mB = 0 .
∑mA = 0 q 2 1 + P 3 + M − RB 5 = 0 RB = 22 кН. ∑mB = 0 RA 5 − q 2 4 − P 2 + M = 0 RA =18 кН.
Проверка: ∑Y = 0 RA + RB −q 2 − P = 0 .
Балка имеет 4 участка. Составляем для каждого участка уравнения поперечных сил и изгибающих моментов.
Первый участок 0 ≤ z1 ≤ 1 м.
Q1 = −RB = −22 кН.
M1 = RB z1 , при z1 = 0 М1 = 0, при z1 = 1 м М1 = 22 кН м.
Второй участок 0 ≤ z2 ≤ 1 м.
Q2 = −RB = −22 кН.
M 2 = RB (1 + z2 ) − M ,
при z2 = 0
М2 = − 8 кН м, при z2 = 1 м
М2 = 14 кН м.
Третий участок 0 ≤ z3 ≤ 2 м.
Q3 = RA −q z3 , при z3 = 0
Q3 = 18 кН, при z3 = 2 м
35
Q3 = − 2 кН,
Q3 = 0, при z3 = 1,8 м.
Эпюра моментов имеет вид квадратичной параболы, максимум которой находится при z3 = 1,8 м.
RA |
|
|
RÂ |
q=10 êÍ/ì |
Ð=20 êÍ |
Ì=30 êÍ ì |
|
z3 |
z4 |
z2 |
z1 |
2 ì |
1 ì |
1 ì |
1 ì |
z=1,8 ì |
|
|
|
18 |
Qy |
|
Mõ |
|
2 |
|
22 |
|
16,2 |
|
|
16 |
22 |
|
|
14 |
|
|
|
|
|
|
8 |
Рис. 23. Балка на двух опорах |
||
M 3 = RA z3 −q z3 z3 / 2 , при z3 = 0 М3 = 0, при z3 = 1,8 м М3 = 16,2 кН м,
при z3 = 2 м М3 = 16 кН м.
Четвертый участок 0 ≤ z4 ≤ 1 м.
Для четвертого участка необязательно записывать уравнения сил и моментов, достаточно соединить точки значений сил и моментов на 3-м и 2-м участках.
Подбор размеров поперечных сечений.
Из эпюр Qy и Mz следует, что Мmax = 45 кН м имеет консольная балка. Для этой балки подберем из условия прочности по нормальным напряжениям
профиль поперечного сечения – двутавр |
σmax = |
|
M |
|
max |
≤ [σ]. Из условия |
|
|
|||||
|
|
|
|
|||
|
|
|
Wx |
|||
прочности следует, что требуемый момент сопротивления сечения должен быть
Wx ≥ |
M max |
= |
|
45 103 |
≈ 0,28 10−3 |
м3. В сортаменте значения геометрических |
|
[σ] |
160 106 |
||||||
|
|
|
|
||||
характеристик выражены в сантиметрах, поэтому Wх = 0,28 10−3 106 = 280 см3.