54
a |
a |
a |
3 |
|
|
b |
|
|
2b |
|
|
|
2 |
|
b |
|
|
|
1 |
|
Схема 7 |
|
|
a |
a |
a |
|
3 |
|
|
|
2b |
|
|
2 |
|
1 |
|
|
Схема 9 |
|
a |
a |
2 |
|
|
b |
|
1 |
|
b |
3 |
Схема 8 |
|
a a a
3 |
b |
2 |
2b
b |
1 |
Схема 0 |
Рис. 38. Расчетные схемы к задаче № 10 (окончание)
|
|
|
|
|
|
|
Таблица 11 |
|
|
|
|
Числовые данные к задаче № 10 |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
№ |
№ |
а, см |
b, см |
Полюс |
№ |
[σс], МПа |
[σр], МПа |
|
схемы |
силы |
|
||||||
1 |
10 |
5 |
5 |
1 |
100 |
60 |
21 |
|
2 |
20 |
6 |
6 |
2 |
200 |
70 |
22 |
|
3 |
30 |
3 |
3 |
3 |
300 |
80 |
23 |
|
4 |
40 |
4 |
4 |
1 |
400 |
90 |
24 |
|
5 |
50 |
5 |
5 |
2 |
500 |
100 |
25 |
|
6 |
60 |
6 |
6 |
3 |
600 |
110 |
26 |
|
7 |
70 |
3 |
3 |
1 |
700 |
120 |
27 |
|
8 |
80 |
4 |
4 |
2 |
800 |
130 |
28 |
|
9 |
90 |
5 |
5 |
3 |
900 |
140 |
29 |
|
0 |
00 |
6 |
6 |
1 |
000 |
150 |
30 |
|
Пример решения задачи № 10
Короткий стержень, сечение которого изображено на рис. 39, находится под действием сжимающей силы Р, полюс которой расположен в точке 1.
[σс] = 70 МПа, [σр] = 20 МПа.
55
1. Определим положение центра тяжести, разбив сечение на простые фигуры. Сечение симметрично относительно горизонтальной оси, поэтому Ус = 15 см. Положение координаты Хс определим через статические моменты
Xc = |
5 5 2,5 + |
10 30 10 +5 5 2,5 |
= 8,929 |
см. |
|
5 5 +5 5 +10 30 |
|||||
|
|
|
|||
|
|
15 ñì |
|
7,5 |
|
|
|
1 |
|
20ñì |
7,5 |
|
|
|
|
7,5 |
Рис. 39 |
|
|
|
|
11,25 |
ó |
|
|
|
18,75 |
|
õ |
|
|
1,61 |
|
|
Рис. 40 |
2.Определим геометрические
характеристики сечения. Площадь сечения F = 350 см2.
Момент инерции Jх = 30416,7 см4. Момент инерции Jу = 5760,14 см4. Радиус инерции iх = 9,32 см.
Радиус инерции iу = 4,06 см.
3.Определим положение нейтральной
|
x0 |
= − |
iу2 |
|
y0 = − |
i2 |
|
линии, используя формулы |
|
и |
х |
, |
|||
хp |
|
||||||
|
|
|
|
|
уp |
||
где ур = 10 см, хр = 3,93 см – координаты полюса
силы Р. х0 = − 4,19 см, у0 = = − 8,68 см.
Наносим вычисленные координатные отрезки на оси и получаем положение нейтральной линии
(рис. 41).
4. Вычисляем наибольшее растягивающее и сжимающее напряжение. Опасными точками сечения являются точки А и В, которые наиболее удалены от нейтральной линии. Координаты точки А относительно центра тяжести хА = 6,07 см, уА = 15 см, координаты точки В хВ = − 8,93 см, уВ =
− 15 см.
Напряжения в точке А вычисляем по формуле:
|
|
|
|
|
|
P |
|
|
|
xp xA |
|
|
yp yA |
|
|
|
|
P |
|
|
|
|
3,93 6,07 |
|
|
10 15 |
|
4 |
|
||||||||||||||||
у |
A |
= у |
min |
= − |
|
|
1 |
+ |
|
|
+ |
|
|
|
|
|
|
= |
− |
|
|
1+ |
|
|
|
|
|
|
+ |
|
|
|
|
|
|
10 |
|
= |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
350 |
|
|
|
|
4,06 |
2 |
|
|
|
|
9,32 |
2 |
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
F |
|
|
|
iy |
|
|
|
|
xх |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
= − 119,26Р кН. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
P |
|
|
|
xp xB |
|
yp yB |
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Напряжения в точке В уB = уmax |
= − |
F |
1 |
+ |
2 + |
|
|
2 |
|
|
|
= |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
iy |
|
|
|
|
|
|
xх |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
P |
|
|
|
|
3,93 8,93 |
|
10 15 |
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
= − |
|
|
|
− |
|
|
|
|
|
− |
|
|
|
|
|
10 |
|
= 81,6Р кН. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
350 |
1 |
|
4,06 |
|
|
9,32 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
5. Составим условие прочности по максимальным и минимальным нормальным напряжениям
σA = σmin ≤ [σc ], σB = σmax ≤[σp ].
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
56 |
|
6. |
|
Определим величину допускаемой нагрузки Р. |
|
||||||||||
[P]= |
σ |
]= |
20 10 |
6 |
|
= 0,167 кН. [P]= |
[σ |
|
] |
= 70 10 |
6 |
= 0,86 кН. |
|
|
[ c |
|
|
|
p |
|
|
|
|||||||
|
σA |
|
119,26 103 |
|
|
σB |
|
81,6 103 |
|
|
||||
8,687 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
ó |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
A |
σmin |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
í.ë |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
За |
|
допустимую |
нагрузку |
|
|
|
|
|
õ |
|
|
принимаем наименьшее значение, т.е. |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
[Р] = 0,167 кН. |
|
||||
|
2,78 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
На |
|
эпюре |
нормальных |
|
|
|
|
|
|
|
|
напряжений (рис. 41) в сечении |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
значения напряжений равны |
|||||
|
|
B |
|
|
|
|
|
|
σmax = 13,63 МПа, σmin = 19,9 МПа |
|||||
|
|
|
|
σmax |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Рис. 41. Эпюра распределения нормальных |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
напряжений в сечении стержня при |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
внецентренном сжатии |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
ЗАДАЧА № 11. ПРОДОЛЬНЫЙ ИЗГИБ СТЕРЖНЯ
Требуется: для стержня длиной l с заданной формой поперечного сечения, сжатого силой Р подобрать размеры поперечного сечения с использованием коэффициентов снижения допустимого напряжения.
Условия задания:
Числовые данные в табл. 12, расчетные схемы заданы на рис. 42,.
|
|
|
|
|
|
|
Таблица 12 |
|
|
Числовые данные к задаче № 11 |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
№ |
Задача № 1 |
№ |
|
Схема |
Схема |
||
Р, кН |
|
l, м |
|
стойки |
сечения |
||
|
|
|
|
||||
1 |
2 |
|
3 |
4 |
|
5 |
6 |
100 |
15 |
|
1,6 |
10 |
|
10 |
1 |
200 |
70 |
|
1,8 |
20 |
|
20 |
2 |
300 |
40 |
|
4,0 |
30 |
|
30 |
3 |
400 |
50 |
|
1,6 |
40 |
|
40 |
4 |
500 |
40 |
|
5 |
50 |
|
50 |
5 |
600 |
13 |
|
3,5 |
60 |
|
60 |
6 |
700 |
30 |
|
1 |
70 |
|
70 |
7 |
800 |
8 |
|
3 |
80 |
|
80 |
8 |
900 |
100 |
|
1,3 |
90 |
|
90 |
9 |
000 |
160 |
|
2 |
00 |
|
00 |
0 |
57
1. Основные допускаемые напряжения: для стали [σ] = 160 МПа, для чугуна [σ] = 100 МПа, для сосны [σ] = 10 МПа.
10 P |
10 P |
P |
10 P |
P |
10 |
20 |
30 |
40 |
50 |
|
|
|||
0,4 l |
0,7 l |
l |
0,8 l |
0,9 l |
|
материал стоек |
|
|
|
Чугун |
Чугун |
Сосна |
Чугун |
Сосна |
P |
P |
10 P |
10 P |
P |
|
||||
60 |
70 |
80 |
90 |
00 |
1,2 l |
0,7 l |
l |
0,3l |
1,5l |
Схемы поперечных сечений
1, 3, 5, 7, 9
à
2, 4, 6, 8, 0
d
|
|
материал стоек |
|
|
Сосна |
Сосна |
Чугун |
Чугун |
Сосна |
Рис. 42. Расчетные схемы к задаче № 11
Методические указания к задаче № 11
1.Вычертить расчетную схему сжатой стойки и эскиз профиля поперечного сечения.
2.Размеры поперечного сечения выбирают в соответствии с действующими стандартами:
а) для древесины круглого профиля – в целых сантиметрах; б) для древесины квадратного профиля – сторона квадрата, мм – 25, 32,
40, 50, 60, 75, 100, 130, 150, 180, 200 и 220; в) для стоек из чугуна, мм – 28, 32, 40, 50, 60, 70, 80, 90, 100, 120, 140,
160, 180, 200, 220, 250, 280 и 320.
3.При расчетах на устойчивость поперечные размеры центрально
сжатого стержня выбирают по формуле: |
σ = |
P |
≤ [σy ] |
= ϕ[σ], где Р – |
|
F |
|||||
сжимающая сила, |
|
|
|
||
|
|
|
|
58
F – площадь поперечного сечения, [σу] – допускаемое напряжение при расчетах на устойчивость, [σ] – допустимое напряжение при расчетах на сжатие, ϕ − коэффициент уменьшения допускаемых напряжений.
Так как [σу] и ϕ зависят от длины стержня, способа крепления концов, площади поперечного сечения и момента инерции, а кроме того эти зависимости разного вида для стержней большой, средней и малой гибкости, то из приведенного выше уравнения прямым расчетом невозможно определить F и назначить размеры поперечного сечения. Поэтому задачу подбора размеров поперечного сечения при расчетах на устойчивость решают методом последовательных приближений.
При первой попытке назначают ϕ = 0,5, вычисляют площадь F и выбирают размеры поперечного сечения, соответствующие этой площади.
Далее проверяют пригодность выбранных размеров. Для этого:
а) по принятым размерам вычисляют площадь поперечного сечения F; б) вычисляют минимальный главный момент инерции Jmin;
|
в) вычисляют минимальный радиус инерции imin = Jmin ; |
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
F |
|
|
|
|
P |
P |
P |
P |
г) |
вычисляют |
гибкость |
||||
стержня |
λ = |
µ l , |
где |
µ |
− |
|||||
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
коэффициент, |
imin |
учитывающий |
||||
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
способ крепления стержня (рис. |
||||||
|
|
|
|
43); |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
д) по гибкости λ (табл. 13) |
||||||
|
|
|
|
находят величину коэффициента ϕ. |
||||||
|
|
|
|
Для неуказанных |
в |
таблице |
||||
µ=1 |
µ=2 |
µ=0,7 |
µ=0,5 |
значений |
λ |
коэффициент |
ϕ |
|||
|
|
|
|
определяют |
|
линейной |
||||
Рис. 43. Схемы закрепления концов стержня |
интерполяцией: |
ϕλ=a+b = ϕλ=a −0,1b (ϕλ=a −ϕλ=a+10 |
). |
е) вычисляют допускаемые напряжения на устойчивость [σy ]= ϕ[σ];
ж) вычисляют величину напряжений сжатия σ = FP ;
з) сопоставляют напряжения сжатия с допускаемыми напряжениями на устойчивость σ ≤ [σy ];
и) вычисляют расхождение напряжений δ = σ[−[σ]y ] 100 % .
σy
Если расхождение меньше 5 %, то выбранные размеры считают удовлетворительными и на этом заканчивают подбор размеров поперечного сечения. Если расхождение больше 5 %, то выбирают новые размеры поперечного сечения и повторяют проверку.