12

ЗАДАЧА № 1. РАСЧЕТ СТЕРЖНЯ

Требуется: вычислить напряжения во всех характерных сечениях стержня и величину изменения длины всего стержня. Задача состоит из двух условий: статически определимого (а) и статически неопределимого (б) ступенчатого стержня, находящегося под действием продольных сил.

Условия задания:

Материал стержня − сталь с модулем упругости Е = 2 105 МПа. Расчетные схемы стержней представлены на рис. 1, числовые данные указаны в табл. 2. Площадь поперечного сечения большей ступени F1 = 50 см2, меньшей ступени

– F2 = 40 см2. Линейные размеры стержней в статически неопределимой задаче такие же, как и для статически определимой схемы. При решении задачи схему стержня следует изобразить вертикально.

Последовательность выполнения задания:

1.Вычертить схему стержня с приложенными силами, соблюдая масштаб размеров по длине стержня. Проставить числовые значения размеров

исил.

2.Изобразить реакции в заделках и вычислить их величину.

3.Установить число участков. Под участком понимают часть стержня, в пределах которой не изменяются ни продольная сила, ни площадь поперечного сечения.

4.Для каждого участка вычислить величину продольной силы (Nz) с учетом знака. Продольная растягивающая сила имеет знак "+", а продольная

сжимающая сила знак "−".

5.Вычислить величины нормальных напряжений для каждого

участка.

6.Вычислить величину продольной деформации для каждого участка, построить эпюру деформаций по длине стержня.

7.Рассчитать, на какую величину изменится длина всего стержня.

Рис. 1. Расчетные схемы к задаче № 1

13

Рис. 1. Расчетные схемы к задаче № 1 (окончание)

15

IV участок (0 ≤ z4 ≤ 0,2 м).

Эпюры распределения продольных сил, нормальных напряжений и линейных деформаций показаны на рис. 3.

Длина стержня изменится на величину

∆l = ∆l1 +∆l2 +∆l3 +∆l4 +∆l5 = (0 +14 +8,4 −1,4 −7,0) 10−4 =14 10−4 м.

Схема статически неопределимого стержня показана на рис. 4. Наличие двух заделок на концах стержня создает две реакции RA и RВ.

Определить реакции из уравнения статики ∑z = 0 . − RA − P1 + P2 + RB = 0 не представляется возможным.

Необходимо ввести еще одно дополнительное уравнение, которое составим на основании деформаций стержня.

Рис. 3. Эпюры сил, напряжений и деформаций в статически определимом стержне

16

Стержень расположен между двумя жесткими заделками, поэтому его длина не может измениться. Второе уравнение, которое позволит раскрыть статическую неопределимость – уравнение совместности перемещений.

∆l = ∆l1 + ∆l2 + ∆l3 + ∆l4 + ∆l5 = 0 .

Подставляем в это уравнение деформации участков с численными

значениями, из чего определим неизвестную реакцию RВ. Величину Е в этом уравнении можно не учитывать.

Приводим уравнение к общему знаменателю, решаем его и находим, что RВ = − 271,84 кН. Знак "−" указывает на то, что принятое направление реакции следует направить в обратную сторону.

Реакцию в опоре А определим из уравнения статики − RA + P1 − P2 − RB = 0 . − RA +1400 −700 +271,84 = 0 , RА = 971,84 кН. Знак «+» указывает на то, что

принятое направление реакции RА выбрано верно.

Определение величины продольной силы, напряжений и деформаций для статически неопределимого стержня проводится по той же методике, что и для статически определимого стержня. Эпюры сил, напряжений и деформаций показаны на рис. 5.