17
|
|
|
z |
Nz , êÍ |
|
σz , ÌÏà |
∆l, 10 |
-4 |
|
|
|
|
|
|
A |
RA |
|
ì |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
0,8 |
V |
971,84 |
|
|
|
9,72 |
∆l5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∆l5 +∆l4 |
|
|
|||
0,2 ì |
ì |
IV |
|
|
242,37 |
194,37 |
11,66 |
|
|
|||
|
III |
P1 =1400 êÍ |
|
85,63 |
∆l +∆l |
+∆l |
|
|||||
|
1,2 |
|
|
3 |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
4 |
|
||
|
ì |
II |
|
|
|
|
6,52 |
|
∆l5 +∆l4+∆l3+∆l2 |
|||
|
|
|
|
|
|
|
||||||
0,6 ì |
1,6 |
Ð2 =700 êÍ |
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
2,04 |
|
|
|
||||
|
|
I |
B |
271,84 |
428,16 |
107,04 |
|
|
|
|
||
|
|
|
∆l5 +∆l4+∆l3+∆l2+∆l1 |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
67,96 |
|
|
||||
|
|
|
RB =271,84 êÍ |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Рис. 5. Эпюры продольных сил, напряжений и деформаций для статически неопределимого стержня
Условие ∆l = ∆l1 + ∆l2 + ∆l3 + ∆l4 + ∆l5 = 0 выполняется, следовательно, силы и деформации стержня определены верно.
ЗАДАЧА № 2. РАСЧЕТ НАПРЯЖЕННОГО СОСТОЯНИЯ
Требуется: Для заданного напряженного состояния определить экстремальные касательные напряжения (τ1, τ2, τ3), нормальные, касательные и результирующие напряжения в одной из площадок, наклоненных к главной плоскости под углом α1 или α2 или β. Рассчитать главные линейные деформации, относительное изменение объема, удельную потенциальную энергию упругой деформации и удельную потенциальную энергию изменения формы.
Условия задания: Материал стержня − сталь с модулем упругости Е = 2 105 МПа. Расчетные схемы детали представлены на рис. 6, числовые данные указаны в табл. 2.
σy |
σy |
σ |
σy |
|
|
y |
|
σx |
σx |
σx |
σx |
σz |
σz |
σz |
σz |
Схема 1 |
Схема 2 |
Схемы 3, 9 |
Схема 4 |
|
|||
σy |
σy |
σ |
σ |
|
|
y |
y |
σx |
σx |
σx |
σx |
σ |
σ |
σz |
σz |
z |
z |
Схема 7 |
Схема 8 |
Схема 5 |
Схемы 6, 0 |
Рис. 6. Расчетные схемы к задаче № 2
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
18 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Таблица 2 |
|
|
|
|
|
|
Числовые данные к задаче № 2 |
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
№ |
|
№ |
|
σх, |
σу, |
σz, |
№ |
|
α1, |
0 |
|
α2, |
0 |
β, |
0 |
µ |
|
схемы |
|
|
МПа |
МПа |
МПа |
|
|
|
|
|
|
||||||
1 |
|
10 |
|
200 |
150 |
300 |
100 |
|
30 |
|
|
− |
|
− |
|
|
0,30 |
2 |
|
20 |
|
150 |
150 |
200 |
200 |
|
− |
|
|
30 |
|
− |
|
|
0,25 |
3 |
|
30 |
|
200 |
150 |
180 |
300 |
|
− |
|
|
− |
|
− |
|
|
0,28 |
4 |
|
40 |
|
100 |
200 |
180 |
400 |
|
60 |
|
|
− |
|
− |
|
|
0,30 |
5 |
|
50 |
|
150 |
300 |
150 |
500 |
|
− |
|
|
60 |
|
− |
|
|
0,30 |
6 |
|
60 |
|
250 |
100 |
150 |
600 |
|
− |
|
|
− |
|
60 |
|
0,26 |
|
7 |
|
70 |
|
100 |
250 |
150 |
700 |
|
20 |
|
|
− |
|
− |
|
|
0,27 |
8 |
|
80 |
|
250 |
200 |
150 |
800 |
|
− |
|
|
20 |
|
− |
|
|
0,28 |
9 |
|
90 |
|
180 |
150 |
200 |
900 |
|
− |
|
|
− |
|
20 |
|
0,30 |
|
0 |
|
00 |
|
200 |
150 |
180 |
000 |
|
35 |
|
|
− |
|
− |
|
|
0,28 |
Последовательность выполнения задания: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
1. |
Изобразить заданную схему напряженного состояния. Определить |
||||||||||||||||
значения главных напряжений по заданной схеме. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
σy |
|
|
|
Например, заданные для схемы (рис. 7) напряжения |
||||||||||||
|
|
|
|
σx |
σх = 150 МПа, σу = 120 МПа, |
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
σz = 90 МПа. В соответствии с правилом |
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
σ1 > σ2 > σ3 главные напряжения будут: |
|
|
|
|||||||||
|
σz |
|
|
|
σ1 = σу = 120 МПа (растяжение «+»), |
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
σ2 = σz = − 90 МПа (сжатие «−»), |
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
Рис. 7 |
|
σ3 = σу = − 120 МПа. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
2.Рассчитать экстремальные касательные напряжения по формулам
τ1 = ± σ2 −2 σ3 , τ2 = ± σ1 −2 σ3 , τ3 = ± σ1 −2 σ2 .
3.Рассчитать аналитически и с помощью круга Мора нормальные, касательные и результирующие напряжения (МПа) в заданной наклонной плоскости.
|
II |
В плоскости, |
параллельной оси III |
|||
|
n |
под углом α1 (рис. 8, а). |
||||
|
α1 |
Нормальные напряжения |
||||
|
σ'= σ1 cos |
2 α1 +σ2 sin 2 α1 . |
||||
|
I |
|||||
|
Касательные напряжения |
|||||
III |
|
|||||
а) |
τ'= |
σ1 |
−σ2 |
sin 2α1 . |
||
|
||||||
|
|
|
2 |
|||
|
|
|
|
|
||
Результирующие напряжения
|
|
|
|
|
|
|
19 |
τ |
|
|
σ' |
|
|
p'= σ'2 +τ'2 . |
|
|
|
|
|
|
Графическое |
определение |
|
|
|
|
p‘ |
τ' |
|
||
|
|
|
|
|
напряжений показано на рис. 8, б. |
||
|
|
|
|
|
σ |
||
0 |
σ |
|
|
2α |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
2 |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
σ1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
б) |
|
|
|
|
|
|
Рис. 8 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
II |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
В плоскости, параллельной оси II |
|
|
|
|
|
I |
|
под углом α2 (рис. 9, а). |
|
|
III |
|
α2 |
|
Нормальные напряжения |
||
|
|
|
σ''= σ1 cos2 α2 +σ3 sin 2 α2 . |
||||
|
|
|
|
n |
а) |
||
|
|
|
|
Касательные напряжения |
|||
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
||
τ |
|
|
|
|
|
τ''= σ1 −σ3 sin 2α2 . |
|
|
σ'' |
2α2 |
|
|
2 |
||
|
|
Результирующие напряжения |
|||||
|
p |
“ |
|
|
τ'' |
||
|
|
|
|
|
p''= σ''2 +τ''2 . |
||
|
|
|
|
|
σ |
||
0 |
σ |
|
|
|
Графическое |
определение |
|
|
|
|
|
||||
|
3 |
σ1 |
|
|
напряжений показано на рис. 9, б. |
||
|
|
|
|
|
б) |
|
|
|
|
|
|
Рис. 9 |
|
|
|
|
|
|
|
|
В плоскости, параллельной оси I |
||
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
под углом α2 (рис. 10, а). |
|
|
|
|
|
II |
|
Нормальные напряжения |
|
|
|
|
β |
|
σ'''= σ2 cos2 β+ σ3 sin 2 β. |
||
|
n |
|
|
|
|||
|
|
|
|
Касательные напряжения |
|||
|
|
|
|
|
I |
τ'''= σ2 −σ3 sin 2β. |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
III |
|
|
|
Результирующие напряжения |
||
|
|
|
а) |
p'''= |
σ'''2 +τ'''2 . |
||
|
|
|
|
|
|||
Графическое определение напряжений показано на рис. 10, б.
20
τσ'''
|
' |
'' |
|
p |
|
0 σ3
σ2
Рис. 10
τ'''
σ
2β
б)
4. Рассчитать главные линейные деформации по формулам обобщенного закона Гука
ε1 = E1 [σ1 −µ(σ2 +σ3 )],
ε2 = E1 [σ2 −µ(σ1 +σ3 )],
ε3 = E1 [σ3 −µ(σ1 +σ2 )].
5.Рассчитать относительное изменение объема по формуле
|
∆V |
= ε1 +ε2 +ε3 . |
|
V |
|
6. |
Рассчитать потенциальную энергию упругой деформации и |
|
энергию изменения объема по формулам
u= 12 (σ1ε1 +σ2 ε2 +σ3ε3 ), uф = 16+Eµ[(σ1 −σ2 )2 +(σ2 −σ3 )2 +(σ3 −σ1 )2 ].
7.Рассчитать потенциальную энергию изменения формы
uоб = 1−6E2µ (σ1 +σ2 +σ3 )2 .
ЗАДАЧА № 3. РАСЧЕТ ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ ХАРАКТЕРИСТИК СОСТАВНОГО СЕЧЕНИЯ
Требуется: Требуется определить положение главных осей инерции и значения главных моментов инерции составного сечения.
Условия задания:
Числовые данные к задаче приведены в табл. 3, схемы сечений представлены на рис. 11. Характеристики уголков – площадь поперечного сечения, моменты инерции, положение центра тяжести необходимо взять из сортамента. Геометрические характеристики пластин рассчитать по известным формулам.
Последовательность выполнения задания:
1.Вычертить в масштабе 1:2 или 1:5 все сечение.
2.Определить положение центра тяжести всего сечения.
3.Определить положение главных осей инерции, показать на чертеже.
21
4. Вычислить значения главных моментов инерции.
Схема 1 |
Схема 2 |
Схема 3
Схема 4
h/2
Схема 5 |
Схема 6 |
|
|
h/2 |
h/2 |
Схема 7 |
Схема 8 |
Схема 9
Схема 0
Рис. 11. Расчетные схемы к задаче № 3